Wielomian minimalny – pojęcie określone dla macierzy kwadratowych oraz endormorfizmów liniowych: dla macierzy kwadratowej wielomianem minimalnym jest wielomian anulujący tej macierzy, tzn. stopnia najniższego względem o współczynniku jeden (1) przy najwyższej potędze argumentu dla endomorfizmu liniowego zadanego daną macierzą, jest to taki wielomian że (interpretując jako przekształcenie złożone ze sobą razy) przekształca każdy wektor na wektor zerowy, a wielomian jest najniższego możliwego stopnia i ma współczynnik jeden (1) przy najwyższej potędze
Każda macierz kwadratowa ma tylko jeden wielomian minimalny.
Związek z wielomianem charakterystycznym Wielomian minimalny macierzy jest związany z wielomianem charakterystycznym następującą zależnością:
przy czym jest największym wspólnym dzielnikiem wszystkich elementów macierzy dołączonej gdzie jest macierzą jednostkową o tym samym wymiarze co macierz
Powyższa zależność jest przydatna przy wyznaczaniu wielomianu minimalnego.
Algorytm wyznaczania Algorytm wyznaczania wielomianu minimalnego macierzy Wyznaczamy wielomian charakterystyczny macierzy Wyznaczamy macierz dołączoną macierzy Znajdujemy będący największym wspólnym dzielnikiem elementów macierzy dołączonej Korzystając z wzoru wyznaczamy szukany wielomian minimalny macierzy