Pochodna cząstkowa – dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie np. w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.
Pochodne cząstkowe funkcji względem zmiennej oznacza się symbolami
Symbol pochodnej cząstkowej ∂Kod HTML: ∂ lub ∂, unikod: U+2202. ma wygląd zaokrąglonej litery „d”.
Historia Pochodne cząstkowe nie wywodzą się, jak można przypuszczać, z funkcji wielu zmiennych, ale były efektem badań rodziny krzywych zależnych od badanego parametru. Leibniz w 1692 roku, rozwiązał problem obwiedni dla rodziny krzywych pokazując, że można usunąć z równania uzyskując (używając współczesnej notacji).
Współczesna notacja, użyta została po raz pierwszy przez Adriena-Marie Legendre’a, stała się powszechna po jej ponownym wprowadzeniu przez Carla Gustava Jakoba Jacobiego; z tej przyczyny bywa określana jako „delta Jacobiego”.
Wprowadzenie thumb|Wykres funkcji thumb|Wartość z w zależności od x, dla y=1 Niech będzie funkcją więcej niż jednej zmiennej. Przykładowo
Wykres tej funkcji określa powierzchnię w przestrzeni euklidesowej. Istnieje nieskończenie wiele stycznych do każdego punktu tej powierzchni. Różniczkowanie cząstkowe polega na wybraniu jednej z tych prostych i uzyskaniu jej nachylenia. Zwykle najbardziej interesujące są proste, które są równoległe do płaszczyzny czy
Aby znaleźć nachylenie prostej stycznej do funkcji w która jest równoległa do płaszczyzny należy traktować zmienną jak stałą. Wykres i wspomnianą płaszczyznę przedstawiono na rys. 1. Z kolei rys. 2. przedstawia wykres funkcji na płaszczyźnie Szukając pochodnej wspomnianego równania przy założeniu, że jest stała, uzyskuje się nachylenie funkcji w punkcie którym jest
W ten sposób okazuje się, poprzez podstawienie, że nachylenie w punkcie wynosi Dlatego
w punkcie Innymi słowy pochodna cząstkowa względem w punkcie jest równa
Definicja Niech będzie otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej i dane będą punkt oraz funkcja
Jeżeli istnieje skończona granica
to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji w punkcie względem zmiennej i oznacza jednym z wyżej wymienionych symboli.
Związek z pochodną zupełną Jeżeli oznaczyć to
jest po prostu pochodną funkcji
Na przykład dla funkcji
można obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych i
Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów oblicza się, różniczkując znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo są znane jako pochodne mieszane.
Pochodne czyste
i pochodne mieszane (różniczkowania zależnie od umowy należy wykonywać, tak jak w tym artykule, od lewej strony do prawej; bądź też, podobnie jak przy składaniu funkcji, od prawej do lewej)
Uogólnione twierdzenie Schwarza mówi, że jeśli wszystkie pochodne mieszane względem pewnych zmiennych są ciągłe w danym punkcie, ich wartość zależy wyłącznie od tego, względem których zmiennych różniczkujemy i ilekrotnie, natomiast nie zależy od kolejności w jakiej przeprowadza się różniczkowania.
Liczbę zastosowanych różniczkowań nazywamy rzędem pochodnej cząstkowej. Na przykład
jest pochodną rzędu
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów zapisuje się także z użyciem notacji wielowskaźnikowej. Wtedy przez gdzie jest wielowskaźnikiem rozumie się
Rząd tej pochodnej cząstkowej wynosi oczywiście
Zobacz też dywergencja, rotacja gradient macierz Jacobiego operator Laplace’a operator d’Alemberta pochodna kierunkowa pochodna zewnętrzna pochodna zupełna
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Analiza matematyczna – pochodne cząstkowe, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube, [dostęp 2025-10-27]. [dostęp 2025-07-16].
Kategoria:Pochodne i różniczki