Wielomian

Wielomian, inaczej suma algebraiczna – wyrażenie algebraiczne będące sumą jednomianów; używane w różnych działach matematyki; przykładowo: w analizie matematycznej pomocne jest przedstawienie funkcji danego rodzaju w postaci ciągu wielomianów (bądź szeregu); w algebrze są one centralnym punktem zainteresowań w teorii Galois, a stąd służą w geometrii jako środek dowodowy przy wykazywaniu konstruowalności różnych obiektów. Służą też kodowaniu własności rozmaitych obiektów (np. wielomian charakterystyczny przekształcenia liniowego).

Definicje Wielomian jednej zmiennej Niech będzie dowolną liczbą naturalną, tj. nieujemną liczbą całkowitą: Wtedy wielomianem zmiennej nazywa się każde wyrażenie algebraiczne postaci:

gdzie Zmienne nazywa się współczynnikami tego wielomianu. Mogą to być liczby rzeczywiste, a w algebrze abstrakcyjnej rozważa się też współczynniki z dowolnego innego ciała lub szerzej pierścienia przemiennego. Wielomian nazywa się całkowitym, wymiernym, rzeczywistym lub zespolonym w zależności od zbioru, z którego pochodzą jego współczynniki. Zwyczajowo wielomian składający się z jednego wyrazu nazywa się jednomianem, z dwóch – dwumianem, a trzech – .

Liczbę nazywa się stopniem wielomianu. W szczególności niezerowa stała to wielomian stopnia zerowego. Dla wielomianu zerowego, czyli składającego się z jednego wyrazu wolnego równego zeru, nie określa się stopnia lub przyjmuje się, że wynosi on wynika to z konwencji dot. tego symbolu – jest on wynikiem przy dodawaniu go do dowolnej liczby i jego mnożeniu przez liczbę nieujemną.. Często wielomiany, których stopień wynosi nazywa się odpowiednio: stałym, liniowym, kwadratowym, sześciennym (związane jest to z własnościami funkcji wielomianowych z nimi skojarzonymi, zob. dalej).

Wielomian jest asymptotycznie dodatni, jeśli współczynnik przy wyrazie jest dodatni. Jeśli współczynnik przy wyrazie jest ujemny, wielomian jest asymptotycznie ujemny.

Niezerowy wyraz bez zmiennych ma stopień 0 i nazywany jest wyrazem wolnym.

Wielomian wielu zmiennych Stopniem wyrazu (niezerowego) nazywa się sumę stopni wszystkich zmiennych tego wyrazu. Wielomian nazywa się jednorodnym, jeśli wszystkie jego wyrazy są tego samego stopnia. Stopniem wielomianu (niezerowego) nazywa się największy stopień wyrazu i oznacza symbolem Niekiedy stosuje się również oznaczenie (od stopień).. Jeżeli istnieje tylko jeden wyraz o najwyższym stopniu, to współczynnik przy nim stojący nazywa się najstarszym lub wiodącym. Wielomian unormowany (bądź moniczny, od ang. monic) to wielomian, którego najstarszy współczynnik jest równy jedności.

Zarys Dla niezerowych wielomianów zachodzą zależności:

Ta równość w pierścieniu z dzielnikami zera staje się nierównością..

Przykład Wyrażenie

jest wyrazem. Jego współczynnikiem jest zmiennymi są oraz przy czym stopień zmiennej wynosi dwa, zaś zmiennej równy jest jeden. Stopniem całego wyrazu jest suma stopni zmiennych, stąd stopień powyższego wyrazu równy jest 3. Może więc być on traktowany jako jednomian, a zatem i wielomian.

Wielomian jest sumą wyrazów. Następujące wyrażenie jest wielomianem:

Zwykle wielomian jednej zmiennej przedstawia się w postaci, w której wyrazy wyższego stopnia stoją przed wyrazami niższego. Powyższy wielomian składa się z trzech wyrazów, jest więc trójmianem: pierwszy z nich jest drugiego stopnia, drugi – pierwszego stopnia, a trzeci ma stopień zerowy. Pierwszy wyraz, który zawiera zmienną o wykładniku ma współczynnik 3. Napis oznacza a więc współczynnikiem środkowego wyrazu jest nie zaś Trzeci wyraz jest wolny. Ponieważ stopień niezerowego wielomianu dany jest jako największy ze wszystkich stopni wyrazów, to powyższy wielomian ma stopień równy dwa.

Postać Ogólnie każde wyrażenie, które można przekształcić w wielomian za pomocą podstawowych własności działań (przemienności, łączności i rozdzielności) uważane jest za wielomian. Przykładowo wyrażenie jest wielomianem, ponieważ można je przekształcić do postaci Podobnie

uważane jest za poprawny wyraz wielomianu. Chociaż zawiera dzielenie, to jest ono równoważne gdzie jest stałą, może więc pełnić rolę współczynnika. W ogólności jednak dzielenie przez wyrażenie zawierające zmienną nie tworzy wielomianu. Na przykład

nie jest wielomianem, podobnie

gdyż ma wykładnik zawierający zmienną.

Ponieważ odejmowanie może być traktowane jak dodawanie liczby przeciwnej, a potęgowanie o naturalnym wykładniku jako wielokrotne mnożenie, wielomiany mogą być tworzone ze stałych i zmiennych wyłącznie za pomocą dwóch działań: dodawania i mnożenia.

Każdy wielomian można przekształcić do postaci beznawiasowej wykonując wszystkie możliwe działania na wyrażeniach algebraicznych, nazywana jest ona czasem postacią kanoniczną. Każdy wielomian jednej zmiennej jest równoważny z wielomianem postaci:

Funkcje wielomianowe Wartością wielomianu nazywa się wartość otrzymaną po podstawieniu danej liczby w miejsce zmiennej (lub tylu liczb w miejsce zmiennych ile ich jest w przypadku wielomianów wielu zmiennych) w wielomianie i wykonanie wszystkich dodawań i mnożeń w wielomianie (tzw. ewaluacja).

Przyporządkowanie każdej liczbie odpowiadającej jej wartości wielomianu jest pewną funkcją. Oznacza to, że dowolny wielomian wyznacza pewną funkcję zwaną funkcją wielomianową. W skończonych ciałach jednej funkcji wielomianowej może odpowiadać więcej niż jeden wielomianFunkcji gdzie zbiór ma elementów, jest zaś wielomianów o współczynnikach z tego zbioru jest przeliczalnie wiele.. Np. w pierścieniu wielomianów wielomiany wyznaczają tę samą funkcję wielomianową.

Analogicznie do definicji wielomianu jako sumy algebraicznej, funkcja jednej zmiennej nazywana jest funkcją wielomianową, jeżeli:

co w skrócie można zapisać w postaci

dla wszystkich argumentów gdzie jest liczbą naturalną, a są stałymi współczynnikami. Niekiedy obliczenie wartości wielomianu można przeprowadzić efektywniej za pomocą tzw. schematu Hornera:

Przykładowo funkcja ze zbioru liczb rzeczywistych w siebie zdefiniowana wzorem

jest jednoargumentową funkcją wielomianową. Można również zdefiniować wieloargumentowe funkcje wielomianowe za pomocą wielomianów wielu zmiennych, np.

Do najważniejszych, a zarazem najprostszych funkcji wielomianowych zalicza się funkcję stałą, funkcję liniową, funkcję kwadratową (nazywaną popularnie trójmianem kwadratowym). Funkcje wielomianowe są ważną klasą funkcji gładkich. W analizie matematycznej pojęć wielomianu i funkcji wielomianowej używa zamiennieW pierścieniu nieskończonym bez dzielników zera każda funkcja wielomianowa wyznacza jednoznacznie wielomian.. Jednak w algebrze bywa to niedopuszczalne, gdyż różnym wielomianom mogą odpowiadać te same funkcje wielomianowe, np. w pierścieniu Z2 wielomiany i definiują te same funkcje, gdyż oraz

Równania wielomianowe Równanie wielomianowe to równanie, w którym przyrównywane są dwa wielomiany. Wielomiany uważa się za równe, jeżeli mają one równe współczynniki przy odpowiadających sobie wyrazach. Przykładem równania może być

W przypadku równań wielomianowych zmienna uważana jest za niewiadomą, a zadaniem jest znalezienie wszystkich możliwych wartości dla których obie strony równania przyjmują tę samą wartość (w ogólności może istnieć więcej niż jedno rozwiązanie). Równanie wielomianowe może być przeciwstawione tożsamościom wielomianowym, takim jak gdzie obie strony przedstawiają ten sam wielomian pod różnymi postaciami, dlatego też jakiekolwiek obliczenie wartości obu stron zawsze da równość.

Równanie, w którym wielomian jednej zmiennej jest przyrównywany do zera, nazywa się równaniem algebraicznym. Przykładem może być powyższe równanie wielomianowe. W strukturach uporządkowanych, takich jak liczby rzeczywiste, czy wymierne, ale nie zespolone, można również rozpatrywać nierówności algebraiczne.

Działania Suma i iloczyn wielomianów jest wielomianem. Pochodna wielomianu jest wielomianem

Funkcja pierwotna (całka) wielomianu jest wielomianem

Dodawanie i mnożenie Dodawanie i mnożenie wielomianów zapisanych w postaci uporządkowanej można wykonywać w postaci analogicznej do dodawania i mnożenia liczb w pozycyjnym systemie liczbowym. Przykład dodawania dwóch wielomianów: {| cellspacing="0" |- align="right"

Przykład mnożenia dwóch wielomianów: {| cellspacing="0" |- align="right"

|- align="right"

|- align="right"

Dzielenie Iloraz dwóch wielomianów nie musi być wielomianem, jednak każdy wielomian można przedstawić w postaci

gdzie są wielomianami, przy czym stopień wielomianu jest mniejszy niż stopień i wielomiany oraz są jednoznacznie wyznaczone.

Operacja ta jest równoważna dzieleniu wielomianu przez z resztą. Jeżeli reszta jest wielomianem zerowym, to: mówi się, że wielomian jest podzielny przez ; nazywa się dzielnikiem wielomianu

Algorytm dzielenia wielomianów z resztą jest analogiczny do dzielenia liczb całkowitych z resztą. Algorytmem, który zakończy się z całą pewnością, jest algorytm Euklidesa, bywa on również wykorzystywany do wyznaczania największego wspólnego dzielnika, dwóch wielomianów, czyli wielomianu jak najwyższego stopnia, który dzieli oba z nich; wyznaczony jest w tym przypadku z dokładnością do stałejStałej niezerowej; dokładniej, elementu odwracalnego w zbiorze współczynników..

Twierdzenie Bézouta mówi, że jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielny przez Stąd w przypadku dzielenia przez dwumian postaci często stosuje się również schemat Hornera.

Iloraz wielomianów nazywany jest wyrażeniem wymiernym, zaś funkcję go realizującą nazywa się funkcją wymierną. Oto przykład

Wyrażenia wymierne (funkcje wymierne) pełnią względem wielomianów (funkcji wielomianowych) rolę podobną do liczb wymiernych względem liczb całkowitych.

Wielomian jest podzielny przez jego ilorazem jest

Pierwiastki Pierwiastek wielomianu to taka liczba , dla której dwumian dzieli bez reszty wielomian . Miejscem zerowym funkcji wielomianowej nazywa się taką wartość zmiennej (lub wartości zmiennych w przypadku wielomianu wielu zmiennych), dla której wartość funkcji wielomianowej wynosi 0, innymi słowy jest to rozwiązanie równania algebraicznego. Zbiór miejsc zerowych funkcji wielomianowej pokrywa się ze zbiorem pierwiastków odpowiadającego jej wielomianu, o czym mówi twierdzenie Bézouta.

Stopniem równania algebraicznego nazywa się stopień wielomianu niezerowego. Istnieją wzory pozwalające rozwiązać każde równanie stopnia pierwszego, drugiego, trzeciego i czwartego. Udowodniono, że efektywne znalezienie rozwiązań równań wyższych stopni przez wykorzystanie podstawowych działań arytmetycznych wraz z pierwiastkowaniem na ogół nie jest możliwe (twierdzenie Abela-Ruffiniego).

Krotność Krotnością pierwiastka wielomianu nazywa się największą liczbę naturalną taką, że wielomian dzieli się bez reszty przez wielomian Jeżeli pierwiastek ma krotność równą co najmniej 2, to zwykle nazywa się go wielokrotnym (dwu-, trzy-, cztero-, pięciokrotnym itd.), jeżeli wynosi ona 1, nazywa się go jednokrotnym.

Jeżeli jest (co najmniej) dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu to jest także pierwiastkiem pochodnej wielomianu Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Rozkład na czynniki

Wielomian

Czytaj w krótszych częściach

Źródło i licencja