Zbiór pierwszej kategorii (czasami: zbiór mizerny lub szczupły) – zbiór, który można przedstawić w postaci przeliczalnej sumy zbiorów nigdziegęstych.
Definicja formalna
Zbiór I kategorii
Niech będzie przestrzenią topologiczną.
Powiemy, że zbiór jest pierwszej kategorii Baire’a w (lub (zbiorem) I kategorii), jeśli można go przedstawić jako sumę gdzie każdy ze zbiorów jest nigdziegęsty w (tzn.: ).
Uwaga. Rodzinę wszystkich zbiorów pierwszej kategorii w będziemy oznaczać przez (albo po prostu przez , jeśli (z kontekstu) jest jasne o jakiej przestrzeni topologicznej aktualnie mówimy).
Zbiór II kategorii
Zbiory, które nie są zbiorami pierwszej kategorii, nazywane są: zbiorami drugiej kategorii Baire’a (lub (zbiorami) II kategorii).
Własności Zbiory pierwszej kategorii w przestrzeni tworzą σ-ideał podzbiorów Każdy zbiór z rodziny jest zawarty w pewnym zbiorze typu Fσ, który też jest pierwszej kategorii. Otwarte niepuste podzbiory przestrzeni zupełnej nie są pierwszej kategorii w tej przestrzeni. Doskonałe przestrzenie polskie wyglądają tak samo, jeśli patrzymy na ich podzbiory borelowskie i zbiory pierwszej kategorii: jeśli są doskonałymi przestrzeniami polskimi, to istnieje izomorfizm borelowski , który zachowuje zbiory pierwszej kategorii (zachowuje – tzn. mamy spełnioną równoważność: wtedy i tylko wtedy, gdy ). Każda rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej które nie są pierwszej kategorii jest co najwyżej przeliczalna.
Przykłady i zastosowanie Każdy przeliczalny podzbiór prostej rzeczywistej jest I kategorii w W szczególności zbiór liczb wymiernych jest pierwszej kategorii (choć jest to gęsty podzbiór ). Prostą rzeczywistą można przedstawić jako sumę dwóch zbiorów, takich że (jednocześnie): jest zbiorem pierwszej kategorii, jest zbiorem miary zero Lebesgue’a. Aby podać przykład takich właśnie zbiorów ustalmy numerację zbioru liczb wymiernych. (Przypomnijmy, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.) Dla liczb naturalnych , niech będzie odcinkiem otwartym o środku w i długości Wówczas zbiór jest miary zero, ale jego dopełnienie jest pierwszej kategorii. Inny przykład rozkładu jak powyżej jest dany przez liczby Liouville’a: zbiór liczb Liouville’a jest miary zero na prostej, a jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii. Polski matematyk Stefan Banach przedstawił w 1931, następujące spektakularne zastosowanie zbiorów pierwszej kategorii. Niech będzie przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych z odcinka w zbiór liczb rzeczywistych Wyposażmy w topologię zbieżności jednostajnej, która to topologia, jest zadana przez następującą metrykę: . Wówczas jest przestrzenią polską. Rozważmy zbiór: . Banach udowodnił, że zbiór jest zbiorem pierwszej kategorii w ; czyli: z topologicznego punktu widzenia prawie każda funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.
Gra Banacha-Mazura Ze zbiorami pierwszej kategorii związana jest (najprawdopodobniej) pierwsza z pozycyjnych gier nieskończonych rozważanych w matematyce. Gra ta była opisana przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w Problemie 43 w Księdze Szkockiej. Odpowiedź na pytanie Mazura była dana przez Stefana Banacha w 1935.
Opis samej gry
Niech będzie (pewnym) dowolnym podzbiorem Rozważmy następującą grę dwóch graczy, oznaczanych dalej, odpowiednio, przez i . Gracze wykonują nieskończenie wiele posunięć ponumerowanych liczbami naturalnymi: .
Zaczynają w ten sposób: Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty a Gracz B odpowiada przez wskazanie niepustego otwartego przedziału Kiedy gracze dochodzą do tego kroku w grze, to mają oni skonstruowany zstępujący ciąg niepustych przedziałów otwartych Na -tym (z kolei) etapie gry, najpierw Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty a potem Gracz B wskazuje niepusty otwarty przedział
Kiedy gracze wykonają już wszystkie posunięcia (jest ich nieskończenie wiele!), to decydujemy, że Gracz B wygrał partię wtedy i tylko wtedy, gdy
Okazuje się, że Gracz B ma strategię zwycięską w tej grze, wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest zbiorem pierwszej kategorii.
Zobacz też diagram Cichonia ideały w teorii mnogości własność Baire’a zbiór nigdziegęsty
Kategoria:Topologiczne własności zbiorów