Zbiór pierwszej kategorii (czasami: zbiór mizerny lub szczupły) – zbiór, który można przedstawić w postaci przeliczalnej sumy zbiorów nigdziegęstych.
Definicja formalna
Zbiór I kategorii
Niech będzie przestrzenią topologiczną.
Powiemy, że zbiór jest pierwszej kategorii Baire’a w (lub (zbiorem) I kategorii), jeśli można go przedstawić jako sumę gdzie każdy ze zbiorów jest nigdziegęsty w (tzn.: ).
Uwaga. Rodzinę wszystkich zbiorów pierwszej kategorii w będziemy oznaczać przez (albo po prostu przez , jeśli (z kontekstu) jest jasne o jakiej przestrzeni topologicznej aktualnie mówimy).
Zbiór II kategorii
Zbiory, które nie są zbiorami pierwszej kategorii, nazywane są: zbiorami drugiej kategorii Baire’a (lub (zbiorami) II kategorii).
Własności Zbiory pierwszej kategorii w przestrzeni tworzą σ-ideał podzbiorów Każdy zbiór z rodziny jest zawarty w pewnym zbiorze typu Fσ, który też jest pierwszej kategorii. Otwarte niepuste podzbiory przestrzeni zupełnej nie są pierwszej kategorii w tej przestrzeni. Doskonałe przestrzenie polskie wyglądają tak samo, jeśli patrzymy na ich podzbiory borelowskie i zbiory pierwszej kategorii: jeśli są doskonałymi przestrzeniami polskimi, to istnieje izomorfizm borelowski , który zachowuje zbiory pierwszej kategorii (zachowuje – tzn.