mamy spełnioną równoważność: wtedy i tylko wtedy, gdy ). Każda rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej które nie są pierwszej kategorii jest co najwyżej przeliczalna.
Przykłady i zastosowanie Każdy przeliczalny podzbiór prostej rzeczywistej jest I kategorii w W szczególności zbiór liczb wymiernych jest pierwszej kategorii (choć jest to gęsty podzbiór ). Prostą rzeczywistą można przedstawić jako sumę dwóch zbiorów, takich że (jednocześnie): jest zbiorem pierwszej kategorii, jest zbiorem miary zero Lebesgue’a. Aby podać przykład takich właśnie zbiorów ustalmy numerację zbioru liczb wymiernych. (Przypomnijmy, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.) Dla liczb naturalnych , niech będzie odcinkiem otwartym o środku w i długości Wówczas zbiór jest miary zero, ale jego dopełnienie jest pierwszej kategorii. Inny przykład rozkładu jak powyżej jest dany przez liczby Liouville’a: zbiór liczb Liouville’a jest miary zero na prostej, a jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii. Polski matematyk Stefan Banach przedstawił w 1931, następujące spektakularne zastosowanie zbiorów pierwszej kategorii. Niech będzie przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych z odcinka w zbiór liczb rzeczywistych Wyposażmy w topologię zbieżności jednostajnej, która to topologia, jest zadana przez następującą metrykę: