Algebra AF (od ang. approximately finite-dimensional) – C*-algebra A zawierająca wstępujący ciąg skończenie wymiarowych pod-C*-algebr (Bn) (tj. Bn ⊆ Bn + 1 dla każdej liczby naturalnej n), których suma jest gęsta w A, tzn.
Intuicyjnie, AF algebry to C*-algebry, które lokalnie wyglądają jak skończenie wymiarowe C*-algebry. Algebry AF są ważną klasą C*-algebr ze względu na fakt, że są klasyfikowalne przez K-teorięG.A. Elliott, On the classification of inductive limits of sequences of semi-simple finite dimensional algebras, J. Algebra 38 (1976), s. 29–44..
Charakteryzacja algebr AF Dla ośrodkowej C*-algebry A następujące warunki są równoważne: A jest algebrą AF, A jest granicą prostą ciągu skończenie wymiarowych C*-algebr, dla każdego zbioru skończonego {a1, a2, ..., an} ⊆ A oraz każdego ε > 0 istnieje taka skończenie wymiarowa C*-algebra B ⊆ A oraz elementy {b1, b2, ..., bn} ⊆ B, że
Podstawowe własności Wprost z definicji, każda algebra AF jest ośrodkowa. Jako granice proste algebr skończenie wymiarowych, które są nuklearne, każda algebra AF jest również nuklearna. Podobnie, granice proste, ilorazy i iloczyny tensorowe algebr AF są również AF. Pod-C*-algebry algebr AF na ogół nie są AF, jednak dziedziczne podalgebry algebr AF są AF.
BrownL.G. Brown, Extensions of AF algebras: The projection lifting problem, Proc. Sympos. Pure Math., vol. 38, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1982. udowodnił, że jeżeli
jest krótkim ciągiem dokładnym C*-algebr oraz I i B są AF, to również A jest AF.
Jeżeli A i B są takimi dwiema C*-algebrami, że
gdzie K oznacza C*-algebrę operatorów zwartych na ℓ2 oraz A jest AF, to B jest również AF. Rzeczywiście, A ⊗ K jest AF, a więc również B ⊗ K. Algebra B jest jednak izomorficzna z dziedziczną podalgebrą B ⊗ K, więc jest AF.
Przykłady Algebra operatorów zwartych na ośrodkowej przestrzeni Hilberta Najprostszym przykładem algebry AF jest algebra K operatorów zwartych na ℓ2. Jest ona wyznaczona przez ciąg inkluzji
Diagramem Bratellego algebry operatorów zwartych jest więc
Także algebrę K1 operatorów zwartych na ℓ2 z dołączoną jedynką można uzyskać w podobny sposób rozważając ciąg
oraz *-homomorfizmy φn: Bn → Bn+1 określone wzorami
Odpowiadającym diagramem Bratellego w tej sytuacji jest
Algebra stowarzyszona z ciągiem Fibonacciego Niech f0, f1, f3, ... będzie ciągiem Fibonacciego, tj. f0 = f1 = 1 oraz fn = fn-1 + fn-2 dla n ≥ 2. Niech ponadto
oraz dane będą *-homomorfizmy φn: An → An+1 określone wzorami
Granica prosta ciągu (An, φn) jest algebrą AF, której grupa K0 jest izomorficzna z
gdzie γ oznacza złoty podział.
Inną ważną klasą algebr AF są tzw. algebry UHF.
Przypisy
Bibliografia M. Rørdam, Classification of nuclear simple C*-algebras, w: Classification of nuclear C*-algebras. Entropy in operator algebras, Encyclopaedia Math. Sci. 126, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002.
Kategoria:C*-algebry