Lemat Auerbacha – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że w każdej skończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej istnieje taka baza że
gdzie symbolami oznaczone są elementy (funkcjonały) bazy sprzężonej do wyjściowej bazy Bazy o tej własności nazywane są bazami Auerbacha.
Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Hermana Auerbacha, polskiego matematyka, który udowodnił najpierw przypadek dwuwymiarowy w swojej rozprawie doktorskiej napisanej we LwowieH. Auerbach, O polu krzywych wypukłych o średnicach sprzężonych, Uniwersytet Lwowski, 1930., a następnie w przypadku ogólnymS. Banach, Théorie des opérations linéaires, Warszawa, 1932, uwagi do rozdziału VII. (dowód Auerbacha przypadku ogólnego nie zachował się). Alternatywne dowody podali M.M. DayM.M. Day, Polygons circumscribed about closed convex curves, „Trans. Amer. Math. Soc.” 62 (1947), s. 315–319. i A.E. TaylorA.E. Taylor, A geometric theorem and its application to biorthogonal systems, „Bull. Amer. Math. Soc.” 53 (1947), s. 614–616.. Pojęcie układu Auerbacha uogólnia bazy o powyższej własności na przestrzenie nieskończenie wymiarowe.
Dowód Taylora Niech będzie -wymiarową przestrzenią unormowaną. Dla danego układu biortogonalnego rozważmy funkcję
Funkcja jest ciągła. Ponieważ przestrzeń jest skończenie wymiarowa, z twierdzenia Heinego-Borela wynika, zwartość zbioru
Ze zwartości oraz ciągłości funkcji wynika istnienie takiego punktu że
W szczególności,
Dla każdego definiujemy funkcjonał wzorem
Z -liniowości wyznacznika wynika, że jest funkcjonałem liniowym, ponadto jest układem biortogonalnym. Pozostaje zauważyć, że
Zastosowanie do konstrukcji rzutów na skończenie wymiarowe podprzestrzenie Lematu Auerbacha używa się by wykazać następujące twierdzenie: Niech będzie przestrzenią unormowaną oraz niech będzie jej -wymiarową podprzestrzenią liniową. Wówczas istnieje rzut (liniowy operator idempotentny) o normie co najwyżej
Dowód. Istotnie, niech będzie bazą przestrzeni o tej własności, że
gdzie oznaczają współczynniki stowarzyszone z wektorami bazowymi. Z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że każdy z funkcjonałów daje się przedłużyć do pewnego funkcjonału o normie 1. Niech
Wówczas jest operatorem liniowym na którego obraz zawiera się w Ponadto, dla każdego Norma nie przekracza ponieważ jest sumą operatorów o normie 1. Rzeczywiście,
co kończy dowód.
Przypisy
Bibliografia Joseph Diestel, Hans Jarchow, Andrew Tonge, Absolutely Summing Operators, s. 146.
Przemysław Wojtaszczyk, Banach spaces for analysts. Cambridge Studies in Advancod Mathematics, Cambridge University Press, vol. 25, 1991, s. 75.
Kategoria:Twierdzenia – przestrzenie Banacha Kategoria:Lematy analizy matematycznej