Funkcja jest ciągła. Ponieważ przestrzeń jest skończenie wymiarowa, z twierdzenia Heinego-Borela wynika, zwartość zbioru
Ze zwartości oraz ciągłości funkcji wynika istnienie takiego punktu że
W szczególności,
Dla każdego definiujemy funkcjonał wzorem
Z -liniowości wyznacznika wynika, że jest funkcjonałem liniowym, ponadto jest układem biortogonalnym. Pozostaje zauważyć, że
Zastosowanie do konstrukcji rzutów na skończenie wymiarowe podprzestrzenie Lematu Auerbacha używa się by wykazać następujące twierdzenie: Niech będzie przestrzenią unormowaną oraz niech będzie jej -wymiarową podprzestrzenią liniową. Wówczas istnieje rzut (liniowy operator idempotentny) o normie co najwyżej
Dowód. Istotnie, niech będzie bazą przestrzeni o tej własności, że
gdzie oznaczają współczynniki stowarzyszone z wektorami bazowymi. Z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że każdy z funkcjonałów daje się przedłużyć do pewnego funkcjonału o normie 1. Niech
Wówczas jest operatorem liniowym na którego obraz zawiera się w Ponadto, dla każdego Norma nie przekracza ponieważ jest