Punkt eksponowany – punkt domkniętego podzbioru wypukłego przestrzeni liniowo-topologicznej o tej własności, że istnieje ciągły funkcjonał liniowy który jest ograniczony z góry na tj.
oraz jest jedynym takim punktem w że:
tj. jest jedynym punktem w którym (część rzeczywista) osiąga swoje maksimum na Innymi słowy, punkt jest eksponowany, gdy istnieje taka hiperpłaszczyzna podpierająca zbioru że:
Zbiór punktów eksponowanych danego zbioru wypukłego oznaczany bywa symbolem
Pojęcie zostało wprowadzone w 1935 roku przez Stefana StraszewiczaS. Straszewicz, Über exponierte Punkte abgeschlossener Punktmengen, Fund. Math., 24 (1935), 139–143..
Związek z punktami ekstremalnymi
thumb|Zbiór wypukły (kolor czerwony) wraz z zaznaczonymi punktami ekstremalnymi, które nie są eksponowane Niech będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Każdy punkt eksponowany zbioru jest również punktem ekstremalnym. Przeciwna implikacja nie zachodzi nawet na płaszczyźnie. Istotnie, niech będzie sumą prostokąta oraz domkniętego koła o środku w zerze i promieniu 1. Wówczas punkty są ekstremalne, ale nie są eksponowane, gdyż (jedyne) hiperpłaszczyzny podpierające zawierające te punkty zawierają także odpowiednie boki prostokąta (zob. grafika obok). W skończonych wymiarach, każdy punkt ekstremalny zwartego zbioru wypukłego w przestrzeni euklidesowej jest granicą ciągu punktów eksponowanych (twierdzenie Straszewicza). W szczególności,
Punkty mocno eksponowane Niech będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Punkt jest mocno eksponowany, gdy istnieje taki funkcjonał że dla każdego ciągu elementów jeżeli
to
Zbiór punktów mocno eksponowanych zbioru oznaczany bywa symbolem
Każdy punkt mocno eksponowany jest eksponowany. W przypadku, gdy zbiór jest dodatkowo zwarty, to każdy punkt eksponowany jest też mocno eksponowany. Każdy punkt ekstremalny kuli jednostkowej przestrzeni ℓ∞ jest *-słabo eksponowany, tj. funkcjonał można dobrać z przestrzeni ℓ1. Lindenstrauss i Phelps wykazali, że w każdej ośrodkowej przestrzeni refleksywnej da się wprowadzić normę równoważną, której kula jednostkowa ma co najwyżej przeliczalnie wiele punktów mocno eksponowanychJ. Lindenstrauss, R.R. Phelps, Extreme point properties of convex bodies in reflexive Banach spaces, Israel J. Math., 6 (1968), 39–48.
Punkty mocno eksponowane słabo zwartych zbiorów wypukłych Niech będzie przestrzenią Banacha oraz niech będzie wypukłym i słabo zwartym podzbiorem LindenstraussJ. Lindenstrauss, On operators which attain their norm, Israel J. Math. 1 (1963), 139–148., a także TroyanskiS.L. Troyanski, On locally uniformly convex and differentiable norms in certain non-separable Banach spaces, Studia Math. 37 (1970/71), 173–180., udowodnili, że
Lau wykazał, że zbiór tych funkcjonałów które świadczą o tym, że dany podzbiór słabo zwartego zbioru wypukłego jest mocno eksponowany jest typu GδK.-S. Lau, A remark on strongly exposing functionals, Proc. Amer. Math. Soc., '59 (1976), 242–244..
Przypisy
Bibliografia M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, CMS Books in Math. Springer, 2011
Kategoria:Zbiory wypukłe Kategoria:Przestrzenie Banacha