Arytmetyka odcinków (w ujęciu Kartezjusza) – archaiczne pojęcie matematyczne geometrii i algebry, polegające na odkrywaniu i dowodzeniu własności algebraicznych (jak np. własności dodawania, mnożenia, pierwiastkowania liczb, poszukiwanie pierwiastków równań algebraicznych) poprzez konstrukcje geometryczne, głównie za pomocą odcinków (zwanych w tej koncepcji wielkościami).
Stworzony przez arytmetykę odcinków pomost pomiędzy geometrią i algebrą obrazuje następujący cytat Kartezjusza:
Arytmetyka odcinków w Geometrii thumb|Pierwsza strona Geometrii, stanowiąca wstęp do arytmetyki odcinków Swoją arytmetykę odcinków zdefiniował Kartezjusz w Geometrii (1637), w księdze pierwszej (O problemach, w których linie proste i okręgi wystarczą do przeprowadzenia konstrukcji). Sama struktura dzieła (tytuły początkowych paragrafów Księgi Pierwszej Geometrii) świadczy o tematyce, jaka jest w tej księdze poruszana: Jak rachunek arytmetyczny odnosi się do działań geometrycznych, Mnożenie , Dzielenie, Wyciąganie pierwiastka, Jak używać znaków w geometrii.
Związek arytmetyki odcinków Kartezjusza z arytmetyką odcinków Euklidesa W arytmetyce odcinków Kartezjusza widać wyraźne wpływy antycznej arytmetyki odcinków, ale także nowe myśli (dużo bliższe współczesnej matematyce). O związkach z teorią proporcji Euklidesa świadczą takie sformułowania, jak np.: znaleźć średnią proporcjonalną albo znaleźć czwartą linię, która będzie do jednej z tych danych, tak jak druga jest do jedności. Nowymi pojęciami jest odcinek jednostkowy i działania na odcinkach (mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie). Nowością są także stosowane przez Kartezjusza oznaczenia i notacje.
Kolejną rewolucyjną kwestią odróżniającą arytmetykę odcinków Kartezjusza od antycznych konstrukcji Euklidesa jest to, iż Kartezjusz stara się sprowadzać wszystkie wielkości do odcinków – dla Euklidesa oznaczało prostokąt o bokach i a dla Kartezjusza jest odcinkiem o długości .
Odcinek jednostkowy
Kartezjusz wskazuje na odcinek jednostkowy jako taki, dla którego . Nie podaje osobno tego faktu, lecz od razu używa tej własności przy opisywaniu pierwiastkowania odcinków:
Działania w arytmetyce odcinków (oryginalne słowa Kartezjusza)
Mnożenie thumb|Oryginalna ilustracja Kartezjusza służąca mnożeniu i dzieleniu odcinków Kartezjusz wstępnie opisuje czym jest mnożenie odcinków, w następujący sposób:
Następnie opisuje dokładną konstrukcję tego działania:
Dzielenie thumb|Oryginalna ilustracja Kartezjusza służąca mnożeniu i dzieleniu odcinków Kartezjusz wstępnie opisuje czym jest dzielenie odcinków, w następujący sposób:
Następnie opisuje dokładną konstrukcję tego działania:
Wyciąganie pierwiastka z odcinka Kartezjusz wstępnie opisuje czym jest pierwiastkowanie odcinków, w następujący sposób:
Pierwiastek kwadratowy z odcinka thumb|Oryginalna ilustracja Kartezjusza służąca pierwiastkowaniu odcinków, Następnie opisuje dokładną konstrukcję wyciągania pierwiastka kwadratowego z odcinka:
Pierwiastki wyższych stopni Kartezjusz przedstawia konstrukcje nieklasyczne pierwiastków wyższych stopni, pisząc: o pierwiastkach trzeciego stopnia:
o pierwiastkach czwartego stopnia:
o pierwiastkach szóstego stopnia:
Współczesne wyjaśnienie arytmetyki odcinków Kartezjusza W arytmetyce odcinków zdefiniowanej w Geometrii występuje kilka nieścisłości. Nie wiadomo, czy następujące związki arytmetyki z teorią proporcji: z proporcji Kartezjusz wnioskuje: „wówczas jest iloczynem oraz ”; z proporcji Kartezjusz wnioskuje: „ jest wynikiem dzielenia przez ” z proporcji Kartezjusz wnioskuje, że średnia proporcjonalna jest pierwiastkiem z
są dla Kartezjusza definicjami, czy twierdzeniami.
Przyjmując, że te równości są definicjami, można współcześnie jasnym językiem przedstawić konstrukcje oparte na arytmetyce odcinków. W poniższych sekcjach stosowane zapisy matematyczne są częściowo uwspółcześnione, dla łatwiejszego zrozumienia przedstawianych konstrukcji i dowodów rozumowań. W dowodach będziemy stosować definicje arytmetyki odcinków oraz własności proporcji z Elementów Euklidesa.
Mnożenie
Iloczyn odcinków oraz konstruujemy w sposób następujący. Oba odcinki odkładamy odpowiednio na dwóch różnych ramionach kąta (jak na rysunku powyżej). Łączymy końce odcinków i a następnie konstruujemy równoległą do powstałego odcinka, przechodzącą przez koniec odcinka .
Przyjmijmy następującą definicję mnożenia w arytmetyce odcinków: .
Konstrukcja przedstawiona powyżej spełnia tę definicję mnożenia.
Definicja ta jest jednoznaczna. Dowód. Niech oraz oznaczają iloczyn odcinków i uzyskany w różnych konstrukcjach. Wtedy, z definicji, mamy:
.
Z tych dwóch proporcji wynika, że: .
Korzystając z otrzymanej proporcji oraz twierdzenia V.9 otrzymujemy: . q.e.d.
Element neutralny mnożenia thumb|center Wykażemy, że . Posłużymy się do tego konstrukcją z rysunku powyżej.
Dowód. Odcinek wyznaczony jest poprzez proporcję: .
Korzystając z otrzymanej proporcji oraz twierdzenia V.9 otrzymujemy: . q.e.d.
Przemienność mnożenia thumb|center Wykażemy, że mnożenie odcinków jest przemienne.
Dowód. Na podstawie definicji mnożenia odcinków mamy następujące dwie proporcje:
.
Dzięki twierdzeniu V.23 z powyższych dwóch proporcji otrzymamy: .
Twierdzenie V.9 sprawia, że z powyższej proporcji otrzymujemy: . q.e.d.
Dzielenie
Iloraz odcinków oraz konstruujemy w sposób następujący. Oba odcinki odkładamy odpowiednio na dwóch różnych ramionach kąta (jak na rysunku powyżej). Łączymy końce odcinków i a następnie konstruujemy równoległą do powstałego odcinka, przechodzącą przez koniec odcinka .
Przyjmijmy następującą definicję dzielenia w arytmetyce odcinków: .
Przedstawiona powyżej konstrukcja spełnia tę definicję
Element odwrotny thumb|center Proporcja
wyznacza odcinek . Powyższy rysunek przedstawia odpowiednią konstrukcję. Konstrukcja ta również pokazuje, że: .
Dzielenie przez 1 thumb|center Zauważając, że:
otrzymujemy: .
Proporcja Arytmetykę odcinków Kartezjusza można powiązać z antyczną arytmetyką odcinków Euklidesa, zapisując proporcje Euklidesa, językiem Kartezjusza, co jest możliwe dzięki poniższym twierdzeniom.
Proporcja jako iloraz proporcja ⇒ iloraz. Dowód algebraiczny. Niech zachodzi proporcja: .
Na podstawie definicji dzielenia odcinków otrzymamy:
.
Z tych trzech proporcji wynika następujący fakt: .
Korzystając z otrzymanej proporcji oraz twierdzenia V.9 otrzymujemy: . q.e.d.
thumb|center proporcja ⇒ iloraz. Dowód geometryczny. Niech zachodzi proporcja: .
Na podstawie twierdzenia VI.2 wiemy, że proste przechodzące przez krańce odcinków oraz są równoległe. Konstrukcja ułamka wymaga poprowadzenia prostej równoległej, przechodzącej przez ale ponieważ obie proste są równoległe, to oba ułamki wyznaczają ten sam punkt. Zatem: . q.e.d.
iloraz ⇒ proporcja. Dowód. Niech . Wtedy wszystkie odcinki łączące punkty (na rysunku powyżej) są równoległe. Stąd, na podstawie twierdzenia VI.2. otrzymujemy: . q.e.d.
Proporcja jako iloczyn thumb|center W podobny sposób można uzasadnić równoważność proporcji z odpowiednim iloczynem odcinków. W tym celu wystarczy zauważyć, że: .
Potęgowanie thumb|center Kolejne potęgi odcinka można tworzyć na podstawie definicji mnożenia dwóch odcinków, przyjmując że oba są równe . Innym sposobem konstrukcji kolejnych potęg jest użycie do tego celu mezolabium.
Pierwiastkowanie thumb|center
Można przyjąć następujące definicje pierwiastkowania:
itp.
Pierwiastek kwadratowy można skonstruować sposobem ukazanym na pierwszym rysunku lub poprzez mezolabium. Dzięki mezolabium można skonstruować także oraz pierwiastki wyższych stopni.
Ciało odcinków Arytmetykę odcinków Kartezjusza można opisać strukturą ciała uporządkowanego.
Warstwa językowa i symboliczna arytmetyki odcinków Kartezjusza Z symbolami takimi jak np. Kartezjusz łączy tradycyjne nazewnictwo oraz nowe znaczenia.
Następnie deklaruje, że w odniesieniu do wyrażeń tudzież zachowa tradycyjne nazwy geometryczne (czyli kwadrat oraz sześcian), ale jednocześnie nada im zupełnie nowy sens – i są odcinkami utworzonymi na podstawie definicji iloczynu. Podobne dwuznaczności wiążą się z symbolem . Symbol ten był stosowany przez Kartezjusza i innych XVII-wiecznych algebraików, na przykład Johna Wallisa. Wszędzie, poza Geometrią, oznaczał on prostokąt o bokach . W La Géometrie wyrażenie również jest nazywane prostokątem, choć w rzeczywistości oznacza odcinek .
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Archaiczne pojęcia matematyczne Kategoria:Arytmetyka