Twierdzenie Riemanna mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy szeregu warunkowo zbieżnego liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę.
Szeregi o wyrazach nieujemnych Ponieważ zbieżność bezwzględna implikuje zbieżność, istotne są kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych, które mogą być traktowane jako kryteria zbieżności bezwzględnej.
Wspólnym założeniem poniższych twierdzeń jest to, że wyrazy szeregu są nieujemne. Bez straty dla ogólności wypowiadanych niżej twierdzeń można przyjąć, że szeregi te mają wyrazy dodatnie, tj.
i takie założenie jest niżej poczynione.
Kryterium porównawcze
Niech
będzie szeregiem o wyrazach nieujemnych. Załóżmy, że istnieje takie że dla wszelkich zachodzi nierówność
Wówczas jeżeli szereg jest zbieżny, to szereg jest również zbieżny; jeżeli szereg jest rozbieżny, to szereg jest również rozbieżny.
Wersja graniczna Pod założeniem, jeżeli istnieje granica
gdy to ze zbieżności szeregu wynika zbieżność szeregu ; gdy to z rozbieżności szeregu wynika rozbieżność szeregu . Jeżeli oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.
Wersja ułamkowa Pod założeniem, jeżeli dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność