Schrödinger pokazał, jak teoretycznie obliczyć dyskretne wartości energii w przypadku stanów związanych układu. Mianowicie, jeżeli operator Hamiltona zapisze się w bazie jego stanów własnych, to niezależne od czasu równanie Schrödingera przybiera postać macierzową
gdzie Równanie powyższe jest układem równań liniowych n-tego rzędu. Przekształcając je do postaci
widzimy, że układ ten ma rozwiązania niezerowe jedynie wtedy, gdy wyznacznik główny układu jest równy zero, tzn.
Powyższe równanie prowadzi do równania wielomianowego n-tego rzędu, które w przypadku macierzy hermitowskiej ma dokładnie pierwiastków rzeczywistych które są dyskretnymi wartościami energii.
Przykłady hamiltonianu Hamiltonian składa się z sumy operatorów energii kinetycznych cząstek układu oraz sumy energii potencjalnych, związanych z oddziaływaniami cząstek układu ze sobą i z polem zewnętrznym (np. polem elektromagnetycznym).
Cząstka o danej masie w polu potencjalnym 1) Hamiltonian pojedynczej cząstki jest sumą operatorów energii kinetycznej i energii potencjalnej
W przypadku cząstki nierelatywistycznej (tj.