poruszającej się z prędkością znacznie mniejszą od prędkości światła, ), oraz pozbawionej ładunku elektrycznego i spinu, operator energii kinetycznej ma postać:
gdzie: – masa cząstki, – operator pędu cząstki.
Działanie operatora energii potencjalnej na funkcję falową oznacza po prostu mnożenie funkcji falowej przez potencjał który w ogólności zależy od położenia w przestrzeni oraz chwili czasu
Operator Hamiltona ma więc postać
gdzie – operator Laplace’a (tzw. laplasjan).
Operator Hamiltona jest de facto operatorem różniczkowym: działając na funkcję falową różniczkuje ją i mnoży przez stałą liczbę (pierwszy człon operatora) oraz mnoży przez funkcję (drugi człon operatora).
Wstawiając postać operatora Hamiltona do ogólnego równania Schrödingera, otrzymuje się
Równanie to jest równaniem różniczkowym cząstkowym. Aby rozwiązać je, należy zadać: – masę cząstki, – postać energii potencjalnej cząstki.
W szczególności, gdy energia potencjalna ma symetrię sferyczną (np. dla atomu wodoru nie poddanemu działaniu zewnętrznych pól), rozwiązania mają postać zawierającą stowarzyszone wielomiany Legendre’a.