W 1933 roku wygrał po raz pierwszy mistrzostwa USA (obecnie US Open), a rok później odniósł już trzy wielkoszlemowe zwycięstwa – na mistrzostwa USA, Australian Championships (obecnie Australian Open) i Wimbledon.
W 1935 roku wygrał także mistrzostwa Francji (obecnie French Open), jako pierwszy zawodnik w historii tenisa odnosząc zwycięstwa we wszystkich turniejach wielkoszlemowych. Poza zwycięstwem w Paryżu wygrał w 1935 roku także Wimbledon. Łącznie triumfował w grze pojedynczej na tym turnieju trzy razy, pokonując w kolejnych finałach Jacka Crawforda (1934) i Gottfrieda von Cramma (1935, 1936).
Perry wygrał łącznie osiem turniejów wielkoszlemowych w grze pojedynczej, a dalsze sześć w deblu i mikście, partnerując w grze podwójnej Patowi Hughesowi oraz w grze mieszanej Dorothy Round Little, Sarah Palfrey Cooke i Betty Nuthall.
W 1937 roku Perry zakończył karierę amatorską i przeniósł się do Stanów Zjednoczonych, gdzie występował w zawodowym cyrku pod patronatem Billa Tildena. Stoczył m.in. ponad 150 pojedynków ze swoim poprzednikiem w roli mistrza Wimbledonu, Ellsworthem Vinesem. W 1938 i 1941 roku zdobywał mistrzostwo USA zawodowców.