W grudniu 1752 roku jego kościół tytularny został zmieniony na Bazylika Świętych Dwunastu Apostołów w Rzymie. W 1758 roku papież mianował go kamerlingiem Świętego Kolegium Kardynałów. Do obowiązków sprawowanych na tym stanowisku należało zarządzanie majątkiem, funduszami, dochodami i opłatami należącymi do Kolegium Kardynalskiego, organizacja mszy żałobnej po śmierci kardynała oraz prowadzenie rejestru Acta Consistorialia. W tym samym roku Henryk wziął udział w konklawe, które wybrało papieża Klemensa XIII. W październiku 1758 roku otrzymał tytularną stolicę arcybiskupią Koryntu. Rok później zrzekł się tytułu kardynała prezbitera kościoła Santa Maria in Campitelli, obejmując tytuł przy kościele Santa Maria in Trastevere, zachowując jednocześnie kościół Santi Apostoli in commendam.
13 lipca 1761 roku Henryk został mianowany kardynałem-biskupem diecezji Frascati. 26 września 1803 roku objął urząd dziekana Kolegium Kardynalskiego, a wraz z nim diecezję Ostii i Velletri, tradycyjnie przysługującą dziekanowi Kolegium. Przez wiele lat mieszkał i pełnił swoją posługę we Frascati, skąd każdego popołudnia udawał się powozem do Rzymu.