Przykłady Przykład 1. Dany jest zbiór liczb rzeczywistych ze standardową topologią oraz jego podzbiór . Zbiór nie jest otwarty w , ale jest otwarty w podprzestrzeni . Istnieje bowiem zbiór otwarty w , na przykład przedział , taki że:
co zgodnie z definicją oznacza, że należy do topologii indukowanej .
Przykład 2. Zbiór może być domknięty w podprzestrzeni , pomimo że nie jest domknięty w całej przestrzeni . Dla przestrzeni ze standardową topologią oraz jej podprzestrzeni , podzbiór nie jest domknięty w . Jest on jednak domknięty w , ponieważ można go zapisać jako przecięcie , gdzie jest domknięty w .
Przykład 3. Jeśli w zbiorze liczb rzeczywistych ze standardową (naturalną) topologią rozważymy podzbiór liczb naturalnych z topologią podprzestrzeni, to zbiór stanie się dyskretną przestrzenią topologiczną. Dla każdej bowiem liczby można wziąć przedział otwarty w , a ponieważ , to każdy jednoelementowy podzbiór jest otwarty w . Skoro topologia podprzestrzeni spełnia aksjomaty topologii, to suma dowolnych jednoelementowych zbiorów otwartych daje zbiór otwarty. Wynika stąd, że topologia zawiera wszystkie możliwe podzbiory zbioru , a to oznacza, że jest topologią dyskretną.