Ważnym twierdzeniem o topologii produktowej jest twierdzenie Tichonowa: dowolny produkt przestrzeni zwartych jest zwarty (co stosunkowo łatwo dowieść dla produktów skończonych). Ogólne twierdzenie, w postaci „produkt zbioru niepustych zbiorów jest niepusty”, jest z kolei równoważne aksjomatowi wyboru. Dowód jest dość prosty: wystarczy wybrać element z każdego zbioru, aby wskazać reprezentanta w produkcie. Odwrotnie, reprezentant produktu to zbiór, który zawiera dokładnie jeden element z każdej składowej. W kontekście przestrzeni produktowych aksjomat wyboru napotyka się w ogólniejszej postaci, np. twierdzenie Tichonowa dotyczące zbiorów zwartych jest nieco bardziej złożonym i subtelnym przykładem stwierdzenia równoważnego aksjomatowi wyboru.
Twierdzenie Tichonowa dla przestrzeni Hausdorffa jest równoważne twierdzeniu o ideale pierwszym (BPI: każdy ideał na algebrze Boole’a może być rozszerzony do ideału pierwszego). W obu przypadkach równoważności zachodzą na gruncie ZF.