Termin „topologia” został po raz pierwszy użyty w druku przez niemieckiego matematyka Johanna Benedicta Listinga w 1847Johann Benedict Listing, Vorstudien zur Topologie, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen 1848, s. 67., a około roku 1920 uznano powstanie nowej dziedziny matematyki. Matematyków zajmujących się topologią zaczęto nazywać topologami.

Jednymi z najważniejszych wydarzeń w historii topologii są: W 1854 Riemann wygłasza na uniwersytecie w Getyndze wykład habilitacyjny O hipotezach, jakie leżą u podstaw geometriiBernhard Riemann: Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen. Treść wykładu w j. ang.: . w którym wprowadził podstawy geometrii Riemanna. W końcu XIX w. Georg Cantor zainteresowany podzbiorami prostej rzeczywistej pojawiającymi się w teorii szeregów Fouriera rozwinął podstawy teorii mnogości. Rozważał on otwarte i domknięte podzbiory przestrzeni euklidesowych, a także operacje wnętrza i domknięcia w tych przestrzeniach.