mały|Wstęga Möbiusa – jeden z podstawowych typów powierzchni wyróżnianych przez topologię, jako przykład rozmaitości jednostronnej (nieorientowalnej) z brzegiem mały|Topologia bada te własności przestrzeni, które nie podlegają zmianom przy rozciąganiu i deformowaniu, bez ich rozrywania lub sklejania. Kubek może być przekształcony na obwarzanek – oba są homeomorficzne z torusem mały|Butelka Kleina – powierzchnia jednostronna (nieorientowalna) bez brzegu
Topologia (gr. τόπος (tópos), miejsce, okolica; λόγος (lógos), słowo, nauka) – dział matematyki wyższej zajmujący się badaniem przestrzeni topologicznych, czyli najogólniejszych przestrzeni, dla których można zdefiniować pojęcie przekształcenia ciągłego. Topologia bada zwłaszcza własności zachowywane przez homeomorfizmy – np. orientowalność powierzchni, genus („liczbę otworów”), istnienie (niepustego) brzegu i jego podstawowe cechy. Właściwości tego typu są nazywane niezmiennikami topologicznymi.
Nieformalnie mawia się, że własności topologiczne nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu obiektów, np. figur geometrycznych jak bryły i ich odpowiedniki o innej liczbie wymiarów. Przez deformowanie rozumie się tutaj dowolne odkształcanie – jak zginanie, rozciąganie czy skręcanie – ale bez rozrywania różnych części lub zlepiania różnych punktów Joanna Jaszuńska, Zabawy z plasteliną, deltami.edu.pl, styczeń 2011 [dostęp 2022-02-05].. Proces deformacji można wyobrazić sobie, przyjmując, że obiekt wykonano z gumyRichard Courant, Herbert Robbins: Co to jest matematyka?, Wydanie uzupełnione przez Iana Stewarta, Prószyński i Spółka, Warszawa 1998, .. Pod tym kątem można analizować między innymi obiekty geometryczne jak przestrzenie euklidesowe, inne rozmaitości i ich podzbiory, a topologia wyrosła właśnie z geometrii i bywała określana jako teoria umiejscowienia (łac. analysis situs). Mimo to w ogólności nie posługuje się ona pojęciami ilościowymi jak odległość czy miara kąta; nie uwzględnia nawet niektórych jakościowych relacji geometrycznych jak równoległość prostych. Taki minimalizm umożliwił uściślenie pojęć o geometrycznym rodowodzie jak krzywa czy abstrakcyjny wymiar zbioru, bez odwoływania się do algebry liniowej czy teorii miary. Topologia wkroczyła też w różne dziedziny matematyki odległe od jej korzeni. Przykładem jest analiza funkcjonalna – intuicyjne pojęcie spójności można uogólnić m.in. na przestrzenie funkcyjne jak te Hilberta, Banacha czy jeszcze ogólniejsze przestrzenie liniowo-topologiczne, które stały się definiującym tematem tego działu matematyki. Metody topologiczne zastosowano nawet w teorii liczb Aleksander Błaszczyk, Zbiory liczbowe widziane oczami topologa, math.us.edu.pl, 25 września 2018 [dostęp 2022-02-05]. Karol Gryszka, Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, deltami.edu.pl, październik 2021 [dostęp 2022-02-05]..
Geneza topologii, zwłaszcza rozumianej potocznie, bywa wiązana z XVIII-wiecznymi początkami teorii grafów w pracach Leonharda Eulera. Mimo to topologia sensu stricto wyrosła w II połowie XIX wieku, na pograniczu geometrii, analizy i teorii mnogości. Została nazwana przez Johanna Listinga w 1847 roku, a ogólny obszar badań tej dziedziny – czyli przestrzeń topologiczną – zdefniowano na początku XX wieku, w pracach Feliksa Hausdorffa i Kazimierza Kuratowskiego. Od tego czasu wykształciły się całe zróżnicowane gałęzie tej nauki – oprócz topologii ogólnej i mnogościowej powstały między innymi topologia algebraiczna, różniczkowa i geometryczna. Badają one różne szczególne klasy przestrzeni topologicznych, niezmienniki specjalnych typów homeomorfizmów – jak np. dyfeomorfizmy – i czerpią przy tym z różnych działów matematyki, zwłaszcza teorii grup. Osobną, owocną dyscypliną stała się też teoria węzłów, bliska korzeniom topologii w jakościowej stereometrii (trójwymiarowej geometrii euklidesowej). Topologia była jednym z głównych obszarów badań warszawskiej szkoły matematycznej, a osiągnięcia Polaków w tej dziedzinie upamiętniono m.in. nazwą przestrzeni polskiej. Prace Samuela Eilenberga w topologii algebraicznej przyczyniły się do powstania teorii kategorii; wiązanej głównie z algebrą i odgrywającej dużą rolę w różnych obszarach matematyki oraz poza nią.
Pytania postawione przez topologię uznano za doniosłe. W 2000 roku hipotezę Poincarégo w topologii algebraicznej umieszczono na liście siedmiu problemów milenijnych, a rozwiązanie jej przez Grigorija Perelmana nagrodzono dodatkowo (odrzuconym przez laureata) Medalem Fieldsa. Już wcześniej odznaczano tym medalem badania nad tą hipotezą, m.in. przez Stephena Smale’a, Michaela Freedmana i Williama Thurstona. Wybitne postępy w topologii nagradzano też innymi najwyższymi zaszczytami dostępnymi matematykom jak Nagroda Abela i Medal Copleya. Topologia wywiera też bezpośredni wpływ na rozmaite kierunki fizyki teoretycznej – teorię cząstek elementarnych (np. teorię strun), informatykę kwantową Nowy ważny krok na drodze do topologicznego komputera kwantowego, naukawpolsce.pl, 18 sierpnia 2017 [dostęp 2022-02-05]., biofizykę molekularną czy fizykę materii skondensowanej; przykładowo była wprost wspomniana w uzasadnieniu Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki za 2016 rokDavid J. Thouless, Duncan Haldane i John M. Kosterlitz otrzymali ją „za teoretyczne odkrycia w dziedzinie topologicznych przejść fazowych i topologicznych faz materii”.. Pojęcia i wyniki topologiczne mają też znaczenie dla kosmologii – otwartym pozostaje pytanie o kształt Wszechświata; rozważano modele o różnych, czasem nietrywialnych ułożeniach czasoprzestrzeni Stanisław Bajtlik, Kształt wszechświata, kanał „Zapytaj fizyka” na YouTube, 20 marca 2015 [dostęp 2022-02-05]..
Rys historyczny thumb|Siedem mostów w Królewcu mały|Ilustracja przykładowej rozmaitości Calabiego-Yau, odgrywającej rolę w teorii strun
Przez Królewiec przepływa rzeka Pregoła, dzieląc miasto na dwie części; na niej dodatkowo znajdują się dwie wyspy (Knipawa i Lomse), co pokazuje ilustracja obok. Zastanawiano się, czy możliwe jest przejście przez wszystkie mosty królewieckie, pokonując każdy z nich co najwyżej raz [dostęp 2021-09-01]..
W postawionym problemie nie są ważne odległości między mostami, ich długości, współliniowość punktów ani kąty. Zagadnienie mostów królewieckich rozwiązał w 1736 roku Leonhard Euler, który wykazał, że jest to niemożliwe.
Podobnie topologiczny charakter ma twierdzenie Eulera o wielościanach wypukłych, które mówi, że suma liczby wierzchołków takiego wielościanu oraz liczby jego ścian równa jest liczbie krawędzi powiększonej o dwa. Wynik nie zależy od długości krawędzi czy kątów (poza wypukłością). Dziś o tym twierdzeniu mówi się jako o twierdzeniu o sferze dwuwymiarowej, uogólnionym przez Henriego Poincaré na dowolne wielościany, a przez Solomona Lefschetza na odwzorowania ciągłe wielościanów w siebie.
Wspomniane historycznie pierwsze wyniki topologiczne zostały uzyskane na długo przed ustanowieniem topologii jako osobnego działu matematyki, dlatego powszechnie uważa się Eulera za jej prekursora. Twierdzenia te mają charakter kombinatoryczny, z tego też powodu poprzedniczkę dzisiejszej topologii algebraicznej nazywano niegdyś topologią kombinatoryczną.
Nieco inny charakter ma klasyczne twierdzenie Weierstrassa w analizie: każda funkcja ciągła rzeczywista zdefiniowana na odcinku domkniętym jest ograniczona i osiąga swoje kresy. Podobnie jak w przypadku twierdzeń Eulera, wspomniane zdanie ma wymiar geometryczny, gdyż mówi o geometrycznych własnościach wykresów, ale różni się zasadniczo od twierdzeń geometrii klasycznej – takich jak na przykład twierdzenie Pitagorasa: w geometrii liczą się miary kątów, boków, powierzchni, ich proporcje oraz to, czy dane punkty leżą na jednej prostej, krzywej lub płaszczyźnie. Wszystkie te zagadnienia nie mają znaczenia w powyższych przykładach twierdzeń topologicznych.
Za twórcę topologii uważa się Bernharda Riemanna, który jako pierwszy prowadził badania stricte topologiczne, choć pewne wyniki, które dziś zaliczamy do topologii, znane były już wcześniej.
Jako osobna dziedzina matematyki topologia zaczęła się rozwijać u progu XX wieku, a przez kolejne 50 lat była najbujniej rozwijającą się dziedziną matematyki, w czym niemały udział mieli matematycy skupieni w polskiej szkole matematycznej. W początkowym okresie rozwoju topologii matematycy określali nową dziedzinę jako geometria situs (łac. geometria położenia/miejsca) lub analysis situs (łac. analiza położenia/miejsca).
Termin „topologia” został po raz pierwszy użyty w druku przez niemieckiego matematyka Johanna Benedicta Listinga w 1847Johann Benedict Listing, Vorstudien zur Topologie, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen 1848, s. 67., a około roku 1920 uznano powstanie nowej dziedziny matematyki. Matematyków zajmujących się topologią zaczęto nazywać topologami.
Jednymi z najważniejszych wydarzeń w historii topologii są: W 1854 Riemann wygłasza na uniwersytecie w Getyndze wykład habilitacyjny O hipotezach, jakie leżą u podstaw geometriiBernhard Riemann: Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen. Treść wykładu w j. ang.: . w którym wprowadził podstawy geometrii Riemanna. W końcu XIX w. Georg Cantor zainteresowany podzbiorami prostej rzeczywistej pojawiającymi się w teorii szeregów Fouriera rozwinął podstawy teorii mnogości. Rozważał on otwarte i domknięte podzbiory przestrzeni euklidesowych, a także operacje wnętrza i domknięcia w tych przestrzeniach. Wkrótce jego prace stały się podstawą wszelkich badań w topologii ogólnej. W 1890 Giuseppe Peano podał przykład ciągłego odwzorowania z odcinka na kwadrat Ten i inne przykłady krzywych Peana były bodźcem do rozwoju teorii wymiaru. W 1894 Henri Poincaré wprowadził pojęcie grupy podstawowej i pokazał, że dwuwymiarowa powierzchnia zwarta (bez brzegu), o trywialnej grupie podstawowej, jest homeomorficzna z dwuwymiarową sferą. Następnie próbował, bez sukcesu, dowieść analogicznej hipotezy, zwanej hipotezą Poincarego, dla rozmaitości trójwymiarowych. Udało się to dopiero Grigorijowi Perelmanowi. W 1895 Henri Poincaré opublikował pracę Analysis SitusHenri Poincaré: Analysis situs. „J. de l’Éc. Pol.” (2) I, (1895), s. 1–123., w której wprowadził pojęcia homotopii i liczb Bettiego, które Emma Noether zastąpiła grupami homologii, i dał pierwsze systematyczne podejście do topologii, ustalając podstawy topologii algebraicznej. W 1906 Maurice Fréchet w swojej rozprawie doktorskiejMaurice Fréchet: Sur quelques points du calcul fonctionnel. „Rend. del Circ. Mat. di Palermo” 22, (1906), s. 1–74. wprowadził pojęcie przestrzeni metrycznej (chociaż sam nie używał tej nazwy, a została ona nadana tego typu przestrzeniom później przez Felixa Hausdorffa). Fréchet rozważał też abstrakcyjne struktury topologiczne zdefiniowane w terminach ciągów zbieżnych (co jest odzwierciedlone we współczesnej terminologii przez pojęcie przestrzeni Frécheta). W 1914 r. Felix Hausdorff wprowadził pojęcie przestrzeni topologicznej, a podana przez niego definicja obejmuje szeroką klasę przestrzeni znanych dzisiaj jako przestrzenie Hausdorffa (aksjomaty Hausdorff w zasadzie zaadaptował z wcześniejszych badań Hilberta, dotyczących szczególniejszej sytuacji z geometrii klasycznej). Definicję przestrzeni topologicznej w terminach operacji domknięcia, równoważną z dziś powszechnie stosowaną, sformułował Kazimierz KuratowskiKazimierz Kuratowski: Sur l’opération de l’Analysis Situs. „Fundamenta Mathematicae” 3, (1922), s. 182–199.. Początkowo jego definicja obejmowała przestrzenie T1.
Podstawowe pojęcia Zbiory otwarte
Korzenie topologii tkwią w geometrii i często mówi się o topologii jako o jednej z geometrycznych dziedzin matematyki. Z drugiej strony, topologia ogólna wyrosła z analizy matematycznej. Zarówno w geometrii, jak i w analizie ważnym pojęciem jest odległość. Odległość można zdefiniować na wiele sposobów w przestrzeni euklidesowej, jak i w innych przestrzeniach. Zbiór ze zdefiniowaną odległością (tzw. metryką) jest zwany przestrzenią metryczną.