Zbieżność jednostajna w przestrzeniach funkcji ciągłych Tw. Niech będą przestrzeniami metrycznymi, a oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych z przestrzeni w przestrzeń Dla określamy
Wówczas jest metryką na zbiorze . Metrykę nazywa się metryką zbieżności jednostajnej.
Tw. Jeśli jest przestrzenią zwartą, to topologia zbieżności jednostajnej na zgadza się z tzw. topologią naturalną, zwaną też topologią zwarto-otwartą, która jest generowana przez podbazę złożoną ze wszystkich zbiorów postaci gdzie jest zbiorem zwartym, a jest zbiorem otwartym. Tw. Jeśli jest przestrzenią zwartą, a jest przestrzenią zupełną, to również jest przestrzenią zupełną.
Tw. jest przestrzenią polską.
Zbieżność prawie jednostajna w przestrzeniach mierzalnych Twierdzenie Jegorowa jest motywacją do wprowadzenia osobnego pojęcia dla ciągów funkcyjnych zdefiniowanych na przestrzeniach mierzalnych.
Niech będzie ciągiem funkcji mierzalnych rzeczywistych, których dziedziną jest przestrzeń z miarą .
Def. Mówimy, że ciąg jest zbieżny prawie jednostajnie do funkcji , jeśli dla każdej liczby istnieje zbiór taki, że oraz ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji .