Niech będzie rodziną wszystkich podzbiorów liczb rzeczywistych, które są miary Lebesgue’a zero: tworzy ona σ-ideał wśród podzbiorów liczb rzeczywistych. Należą do niego m.in. wszystkie zbiory jednopunktowe, a stąd również wszystkie zbiory przeliczalne, czy klasyczny zbiór Cantora (poprzez drobne zmiany konstrukcji można uzyskać zbiór Cantora o dowolnej mierze skończonej), ponadto każdy ze zbiorów należących do zawiera się w zbiorze typu Gδ należącym do Dowolna rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów które nie są miary zero (w sensie Lebesgue’a), jest co najwyżej przeliczalna.
Zbiór liczb rzeczywistych można przedstawić w postaci sumy dwóch rozłącznych zbiorów oraz z których pierwszy jest zbiorem mizernym (zbiorem pierwszej kategorii), a drugi jest miary Lebesgue’a zero. Otóż jeżeli oznacza zbiór liczb wymiernych, zaś jest przedziałem otwartym o środku w i długości to jako zbiór miary zero można przyjąć
jego dopełnienie jest zbiorem mizernym.