Jeżeli zamiast warunku dodatniej określoności tensora metrycznego nałoży się mniej wymagający warunek, by tensor był niezdegenerowany, to uzyskuje się w ogólnym przypadku rozmaitości pseudoriemannowskie. Albert Einstein użył teorii pseudorozmaitości Riemanna w sformułowaniu ogólnej teorii względności.
Wprowadzenie W 1827 roku Carl Friedrich Gauss udowodnił swoje twierdzenie wyborne (theorema egregium), dotyczące powierzchni dwuwymiarowych. Twierdzenie to mówi, że własności geometryczne powierzchni, jak np. krzywizna powierzchni, kąty między krzywymi, pola powierzchni mogą być całkowicie określone za pomocą współrzędnych krzywoliniowych, zdefiniowanych na tej powierzchni, bez konieczności odwoływania się do przestrzeni trójwymiarowej, w której powierzchnia jest zanurzonaT. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, Warszawa: PWN, 1974, s. 317..
Bernhard Riemann rozszerzył teorię Gaussa do przestrzeni wielowymiarowych, nazywanych rozmaitościami (czyli zakrzywionych przestrzeni wielowymiarowych).