Zrobił to w sposób wewnętrzny dla rozmaitości, bez umieszczania jej w przestrzeni posiadającej więcej wymiarów.

Podstawowe pojęcia Przestrzeń styczna do rozmaitości w punkcie Każdemu punktowi rozmaitości można przypisać przestrzeń styczną (przestrzeń euklidesową o wymiarze równym wymiarowi rozmaitości, o bazie utworzonej z wektorów stycznych do rozmaitości w punkcie ). Każda przestrzeń styczna rozmaitości riemannowskiej ma z definicji strukturę rzeczywistej przestrzeni z iloczynem skalarnym.

Wiązka styczna rozmaitości. Wiązka styczna unitarna Zbiór przestrzeni stycznych do rozmaitości w poszczególnych jej punktach nazywa się wiązką styczną rozmaitości.

Zbiór przestrzeni stycznych unitarnych do rozmaitości w poszczególnych jej punktach nazywa się wiązką styczną unitarną rozmaitości.

Norma wektorów na rozmaitości W każdej przestrzeni stycznej rozmaitości można ustalić definicję długość wektorów – w ten sposób każda przestrzeń styczna staje się przestrzenią unormowaną.

Norma wektora zaczepionego w punkcie zadana jest wzorem

gdzie: – norma (długość) wektora, – współrzędne wektora – tensor metryczny w punkcie

Celowe jest wprowadzenie normy zdefiniowanej w ten sam sposób we wszystkich przestrzeniach stycznych rozmaitości.