Długość krzywej nie zależy bowiem od sposobu jej parametryzacji.
Różniczkowalność krzywej dla gwarantuje, że przyjmuje skończone wartości, a to oznacza, że całka istnieje.
Zapisując normę w jawnej postaci, mamy wzór na długość krzywej
przy czym w powyższym wzorze trzeba sumować po powtarzających się wskaźnikach (zgodnie z konwencją sumacyjną Einsteina; konwencję tę stosuje się także we wzorach poniżej).
Odległość punktów na rozmaitości W każdej rozmaitości riemannowskiej spójnej można wprowadzić pojęcie odległości.
Definicja:
Odległością punktów rozmaitości jest długość najkrótszej spośród krzywych zawartych w rozmaitości, ciągłych i różniczkowalnych, łączących punkty czyli
gdzie: – infimum (kres dolny zbioru), – długość krzywej
Dowodzi się, że najkrótszymi liniami w rozmaitości riemannowskiej zupełnej są linie geodezyjne (patrz niżej). Rozmaitość riemannowska, w której zdefiniowano pojęcie odległości, staje się przestrzenią metryczną.
Linie geodezyjne na rozmaitości Rozmaitość riemannowska jest w ogólności zakrzywiona. Jeżeli rozmaitość jest przestrzenią zupełną, to najkrótszymi liniami, łączącymi dwa punkty, są linie geodezyjne – linie te są odpowiednikami linii prostych w przestrzeni Euklidesa.