Linia geodezyjna gdzie – parametr definiujący krzywą, spełnia równanie różniczkowe:
gdzie – symbole Christoffela, które wyrażają się przez tensor metryczny wzorami
Powyższe wzory można zapisać w bardziej zwartej postaci:
gdzie wprowadzono oznaczenia: – pochodna współrzędnej po parametrze (= prędkość, gdy = czas), – druga pochodna (= przyśpieszenie, gdy = czas), – przecinek z literą = pochodna cząstkowa po współrzędnej przestrzennej
Uwaga:
Jeżeli rozmaitość nie jest zupełna, to linie geodezyjne mogą nie istnieć.
Np. dla płaszczyzny, z której usunięto punkt odległość między punktami oraz wynosi 3, ale nie istnieje linia geodezyjna, łącząca te punkty i należąca do rozmaitości, gdyż obliczając infimum uzyskuje się linię prostą w przechodzącą przez usunięty z omawianej rozmaitości punkt Mimo tego odległość w rozmaitości między punktami oraz wynosi 3, tyle ile w rozmaitości bez usuniętego punktu
Kąt między wektorami Kąt pomiędzy dwoma wektorami oraz stycznymi do rozmaitości w punkcie dany jest jako iloraz iloczynu skalarnego wektorów przez iloczyn długości tych wektorów, tj.
czyli
W zakrzywionej przestrzeni wektory należą do przestrzeni stycznej do rozmaitości.
Rozmaitość riemannowska – podsumowanie W ramach podsumowania zestawiono tu najważniejsze idee dotyczące rozmaitości riemannowskich.