(1) Pojęcie rozmaitości riemannowskiej wychodzi zdecydowanie poza pojęcie przestrzeni liniowej (wektorowej): rozmaitość riemannowska w ogólności nie jest przestrzenią liniową. Dlatego np. punktów rozmaitości nie można traktować jakby były wektorami (jak to można robić w przestrzeni euklidesowej).
(2) Ponadto: wektory styczne do krzywych leżących w rozmaitości nie należą do rozmaitości (np. sfera). Dlatego wprowadza się pojęcie przestrzeni stycznej do rozmaitości – przestrzeń styczna jest przestrzenią wektorową, którą tworzą wektory styczne do krzywych rozmaitości.
Standardową bazę przestrzeni stycznej stanowią wektory styczne do linii współrzędnych krzywoliniowych
gdzie jest wektorem wodzącym punktu na rozmaitości opisanym przez współrzędne kartezjańskie przestrzeni euklidesowej, w której zanurzona jest rozmaitość.
(Przykłady obliczeń podano w: Tensor metryczny lub Współrzędne krzywoliniowe).
(3) Następnie można zdefiniować iloczyn skalarny wektorów, a dalej tensor metryczny, którego współrzędne są równe iloczynom skalarnym wektorów stycznych, tj.
(alternatywnie: definiuje się różniczkowy element liniowy, którego współczynniki są równe współrzędnym tensora metrycznego;