Wymiar definiują następujące warunki:
(CL1) jeśli w każde skończone pokrycie otwarte przestrzeni można wpisać skończone pokrycie otwarte takie, że każde zbiory tego pokrycia mają puste przecięcie.
(CL2) jeśli ale nieprawda, że
(CL3) jeśli dla żadnej liczby nie zachodzi warunek (CL1).
Zauważmy, że ciężar definicji tkwi w warunku (CL1); dwa pozostałe mają charakter porządkujący.
Historia pojęcia Wymiar pokryciowy został zdefiniowany i zbadany przez Eduarda Čecha w pracy z 1933. Pojęcie nawiązuje do odkrytej przez Lebesgue’a własności kostki n-wymiarowej.
Intuicja Zauważmy (a pierwszy uczynił to Henri Lebesgue w 1911 roku, w wymiarze ), że możemy pokryć odcinek jednostkowy I rodziną odcinków o dowolnie małej (z góry zadanej) długości, w taki sposób, że każda trójka odcinków ma puste przecięcie. Nie da się jednak tego uczynić tak, by każda para była rozłączna.
Z kolei kwadrat zawsze możemy pokryć prostokątami o dowolnie krótkim (znowu z góry zadanym) dłuższym boku, w taki sposób, że dowolnie wybrane cztery prostokąty nie przecinają się.