Równanie Pauliego zależne od czasu Równanie Pauliego w postaci zależnej od czasu otrzymuje się, wstawiając powyżej opisany hamiltonian do równania Schrödingera zależnego od czasu, które ma postać
Stąd otrzymuje się równanie Pauliego
gdzie: – masa cząstki, – ładunek cząstki, – wektor położenia cząstki, – wektorowy operator pędu, – potencjał wektorowy pola el-m, – potencjał skalarny pola el-m, – wektorowy operator momentu magnetycznego, – wektor indukcji pola magnetycznego.
Rozwiązaniami oryginalnego równania Schrödingera są skalarne funkcje falowe W równaniu Pauliego jest inaczej: ze względu na to, że hamiltonian ma tu postać macierzy 2 × 2, rozwiązaniami równania Pauliego są funkcje falowe w postaci wektora o dwóch składowych (tzw. spinory):
gdzie: – funkcja falowa stanu spinowego cząstki „zgodnego” z kierunkiem pola (stan według notacji Diraca), – funkcja falowa stanu spinowego cząstki „przeciwnego” do pola (stan według notacji Diraca).
Gęstość prawdopodobieństwa Znając funkcje falowe oraz łatwo obliczyć gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w położeniu w chwili w stanach spinowych oraz
gdzie – sprzężenie zespolone funkcji.
Wynik ten oznacza, że gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w położeniu w stanie spinowym oraz będą zmieniać się w czasie.