wynika ona z faktu, że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna. Załóżmy więc, że są spełnione warunki (a)-(d). Jak wspomnieliśmy, jest mierzalna. Ponieważ ciąg jest monotonicznie niemalejący (na mocy założenia (c)), więc jest on zbieżny, być może do granicy nieskończonej. Niech
Przypuśćmy, że jest całkowalną funkcją prostą taką, że Ustalmy na jakiś czas liczbę Dla liczby naturalnej połóżmy
Oczywiście, (jako że zarówno jak i są mierzalne) oraz (używamy tu założenia (c)). Ponieważ ilekroć to używając założenia (d) widzimy, że Zauważmy, że (i)
Następnie, pamiętając że jest funkcją prostą, sprawdza się że (ii)
Przechodząc z do granicy w (i) i używając (ii), otrzymujemy
Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla każdej liczby to otrzymujemy iż
Tak więc wykazaliśmy, że dla każdej funkcji prostej spełniającej nierówności mamy, że a więc funkcja spełnia (Czytelnik może zechcieć skonsultować ten wniosek z definicją funkcji całki Lebesgue'a z funkcji mierzalnej nieujemnej.) Ponieważ jednocześnie (jako że ), to mamy też