w równaniu Laplace’a, równaniu Poissona, równaniu przewodnictwa ciepła, równaniu falowym, czy równaniu Schrödingera.
Stosuje się również laplasjan wektorowy będący operatorem wektorowym zwracającym pole wektorowe: jeżeli jest polem wektorowym, to jest on zdefiniowany wzorem
we współrzędnych kartezjańskich przyjmuje on dużo prostszą postać (która może być postrzegana jako szczególny przypadek wzoru Lagrange’a),
gdzie
Pochodna kowariantna
Użycie iloczynu tensorowego, w tym przypadku iloczynu diadycznego, w miejsce iloczynu skalarnego dla dywergencji i iloczynu wektorowego dla rotacji opisuje pochodną kowariantną; dokładniej: jeśli jest trójwymiarowym polem wektorowym, to jest tensorem drugiego rzędu odpowiadającym pochodnej kowariantnej którą można przedstawić za pomocą macierzy równoważnej macierzy Jacobiego pola wektorowego Notację tę stosuje się również do opisu zmiany pola wektorowego przy małym przemieszczeniu mianowicie