Podstawiając wyrażenia na energię potencjalną do powyższych równań otrzymuje się:
Powyższy układ równań różniczkowych ma rozwiązania w postaci drgań harmonicznych. Zakładając rozwiązania w postaci:
otrzymuje się układ równań liniowych, który rozwiązuje się metodami algebraicznymi.
Równanie własne w mechanice kwantowej Równanie własne odgrywa podstawową rolę w mechanice kwantowej, gdzie wielkościom fizycznym przypisuje się operatory zgodnie z tzw. zasadą kwantowania (np. operator Hamiltona), działające na wektory stanu w przestrzeni Hilberta. Zbiór możliwych wyników danej wielkości fizycznej otrzymuje się rozwiązując zagadnienie własne operatora przypisanego do wielkości fizycznej, działającego na wektory stanu w przestrzeni Hilberta
gdzie: – dany operator, – szukany wektor własny operatora, – szukana wartość własna operatora.
Operatory mechaniki kwantowej są operatorami liniowymi, dlatego wybierając bazę przestrzeni Hilberta można je przedstawić w postaci macierzy, a wektor stanu w postaci macierzy o jednej kolumnie. Powyższe równanie przyjmuje więc w wybranej bazie postać równania własnego
gdzie: – macierz kwadratowa, za pomocą której przedstawiony jest operator, – szukany wektor własny, zapisany za pomocą współrzędnych w wybranej bazie.