Każdej więc liczbie zespolonej można przyporządkować wektor i odwrotnie. Działania dodawania i mnożenia , zadane na zbiorze liczb zespolonych, odpowiadają w sposób następujący, odpowiednim działaniom na wektorach, każdych dwóch liczb zespolonych (wektorach, stanowionych zarazem zawsze przez pary pewnych liczb rzeczywistych):
Tak określoną płaszczyznę określa się mianem płaszczyzny zespolonej. Interpretacja ta, dla której w specjalny sposób określono mnożenie, znana była już pod koniec XVIII wieku Wesselowi, mimo to przez długi czas jej autorstwo przypisywało się Argandowi, stąd też wspomnianą płaszczyzną nazywa się również płaszczyzną Arganda. Inną spotykaną nazwą jest też płaszczyzna Gaussa. Reprezentacja geometryczna była używana także przez Hamiltona. Dzięki autorytetowi Gaussa oraz Hamiltona geometryczna teoria liczb zespolonych została w pełni zaakceptowana przez matematyków.
Moduł
Zauważmy, iż długość wektora jest równa z twierdzenia Pitagorasa Dla liczby moduł definiujemy jako Moduł liczby zespolonej ma analogiczne własności do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej, spełniając przy tym definicję normy.
Argument
Niech oznacza kąt, który wektor tworzy z prostą oznaczmy go przez Jest to tzw. argument.