Jeszcze inaczej: funkcja jest wklęsła, jeśli funkcja jest wypukła. mały|Funkcja ściśle wklęsła
Ścisła wklęsłość Zastępując nierówności w definicji wklęsłości przez nierówność ostrą definiujemy funkcje ściśle wklęsłe.
Własności i warunki równoważne wypukłości Załóżmy, że jest funkcją jednej zmiennej, a jest niepustym przedziałem.
(1) Funkcja jest wypukła, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnie ustalonych takich, że zachodzi
.
Taka charakteryzacja funkcji wypukłej przydatna jest do udowodnienia poniższej własności.
Dalej, zakładamy, że jest niepustym przedziałem otwartym.
(2) Jeśli jest wypukła w , to jest ciągła w tym przedziale.
(3) Funkcja wypukła jest kresem górnym rodziny funkcji liniowych mniejszych bądź równych od niej (punktowo).
(4) W szczególnym przypadku, gdy dla funkcji wypukłej użyjemy w definicji , to dla dowolnych otrzymujemy nierówność
,
która jest warunkiem słabszym od wypukłości. Tj. istnieją funkcje spełniające powyższy warunek, ale niewypukłe, np.