przestrzeń c0), zbiór ciągów ograniczonych. Jeżeli jest przestrzenią unitarną, to dopełnienie ortogonalne jego dowolnej podprzestrzeni jest podprzestrzenią przestrzeni V.
Działania na podprzestrzeniach Niech będzie przestrzenią liniową. Część wspólna dowolnie wielu podprzestrzeni liniowych przestrzeni jest podprzestrzenią liniową. Istotnie, każda kombinacja liniowa elementów części wspólnej rodziny podprzestrzeni liniowych należy do tej części wspólnej, jako że należy ona do każdej z podprzestrzeni, których część wspólną się rozważa.
Dla rodziny podprzestrzeni liniowych przestrzeni definiuje się ich sumę algebraiczną
Suma algebraiczna podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową przestrzeni .
Dowód Niech
Wówczas
dla pewnych Oznacza to, że
Niech zaś będzie skalarem. Korzystając z tego samego przedstawienia wektora co wyżej uzyskuje się
Powyższa konstrukcja przenosi się na dowolną rodzinę podprzestrzeni liniowych Ich sumę algebraiczną definiuje się jako
Podobnie jak w skończonym przypadku, suma algebraicznej dowolnej rodziny podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową.
Sumę algebraiczną nazywa się prostą, gdy dla stosuje się wówczas oznaczenie