Rodzina wszystkich podprzestrzeni liniowych przestrzeni wraz z działaniami i tworzy kratę zupełną, w której infimum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich część wspólna natomiast supremum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich (możliwie nieskończona) suma algebraiczna.
Wymiar i kowymiar
Niech będzie przestrzenią liniową. Ponieważ każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni sama jest przestrzenią liniową można mówić o jej wymiarze (oznaczanym symbolem ), tj. mocy (dowolnej) bazy tej przestrzeni.
Niech i będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni Między wymiarami przestrzeni i zachodzi związek
W szczególności
Przeciwne twierdzenie również zachodzi, tj. jeżeli są takimi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni że
to
Niech oraz będą podprzestrzeniami Kowymiarem podprzestrzeni w oznaczanym nazywa się wymiar przestrzeni ilorazowej Jeżeli jest przestrzenią skończenie wymiarową, to
Podprzestrzeń liniowa generowana przez zbiór wektorów Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem Dla każdego (niekoniecznie skończonego) podzbioru przestrzeni liniowej definiuje się podprzestrzeń generowaną przez zbiór (inne symbole: ), jako zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów zbioru tj.