Podprzestrzeń liniowa a. wektorowa – podzbiór przestrzeni liniowej, który sam jest przestrzenią liniową z działaniami dziedziczonymi z wyjściowej przestrzeni. Równoważnie, podzbiór przestrzeni liniowej nad ciałem jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich wektorów i skalarów spełnione są warunki:

.

Innymi słowy, podprzestrzeń liniowa danej przestrzeni liniowej to podzbiór zamknięty ze względu na mnożenie przez skalar i ze względu na dodawanie wektorów, oba działania w podprzestrzeni są więc dobrze określone a spełnianie przez nie aksjomatów przestrzeni liniowej wynika z tego, że jest podzbiorem

Powyższą charakteryzację można wyrazić również następująco: podprzestrzeń liniowa to taki podzbiór przestrzeni liniowej, do którego należy każda kombinacja liniowa jego dwóch elementów; z zasady indukcji matematycznej wynika, że jest to równoważne temu, by należała do niego dowolna kombinacja liniowa każdej skończonej liczby jego elementów.

Przykłady thumb|300px|Na szaro, zielono i żółto zaznaczono dwuwymiarowe podprzestrzenie (płaszczyzny) trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej; na niebiesko zaznaczono podprzestrzeń jednowymiarową (prostą). Dobór układu współrzędnych nie jest istotny. W każdej przestrzeni liniowej zbiory oraz cała przestrzeń są podprzestrzeniami; pierwsza z nich nazywana jest trywialną, druga – niewłaściwą. W przestrzeni współrzędnych podzbiór złożony z wektorów postaci dla jest podprzestrzenią (jednowymiarową), którą geometrycznie można interpretować jako prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i punkt Podobnie w przestrzeni podzbiór złożony z wektorów postaci gdzie są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest (dwuwymiarową) podprzestrzenią, którą można interpretować geometrycznie jako płaszczyznę przechodzącą przez początek układu współrzędnych oraz punkty i W przestrzeni liniowej wszystkich ciągów o wartościach rzeczywistych następujące zbiory są podprzestrzeniami liniowymi: zbiór ciągów stałych, zbiór ciągów zbieżnych, zbiór ciągów zbieżnych do 0 (zob. przestrzeń c0), zbiór ciągów ograniczonych. Jeżeli jest przestrzenią unitarną, to dopełnienie ortogonalne jego dowolnej podprzestrzeni jest podprzestrzenią przestrzeni V.

Działania na podprzestrzeniach Niech będzie przestrzenią liniową. Część wspólna dowolnie wielu podprzestrzeni liniowych przestrzeni jest podprzestrzenią liniową. Istotnie, każda kombinacja liniowa elementów części wspólnej rodziny podprzestrzeni liniowych należy do tej części wspólnej, jako że należy ona do każdej z podprzestrzeni, których część wspólną się rozważa.

Dla rodziny podprzestrzeni liniowych przestrzeni definiuje się ich sumę algebraiczną

Suma algebraiczna podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową przestrzeni .

Dowód Niech

Wówczas

dla pewnych Oznacza to, że

Niech zaś będzie skalarem. Korzystając z tego samego przedstawienia wektora co wyżej uzyskuje się

Powyższa konstrukcja przenosi się na dowolną rodzinę podprzestrzeni liniowych Ich sumę algebraiczną definiuje się jako

Podobnie jak w skończonym przypadku, suma algebraicznej dowolnej rodziny podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzenią liniową.

Sumę algebraiczną nazywa się prostą, gdy dla stosuje się wówczas oznaczenie

Rodzina wszystkich podprzestrzeni liniowych przestrzeni wraz z działaniami i tworzy kratę zupełną, w której infimum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich część wspólna natomiast supremum dowolnej rodziny podprzestrzeni jest ich (możliwie nieskończona) suma algebraiczna.

Wymiar i kowymiar

Niech będzie przestrzenią liniową. Ponieważ każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni sama jest przestrzenią liniową można mówić o jej wymiarze (oznaczanym symbolem ), tj. mocy (dowolnej) bazy tej przestrzeni.

Niech i będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni Między wymiarami przestrzeni i zachodzi związek

W szczególności

Przeciwne twierdzenie również zachodzi, tj. jeżeli są takimi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni że

to

Niech oraz będą podprzestrzeniami Kowymiarem podprzestrzeni w oznaczanym nazywa się wymiar przestrzeni ilorazowej Jeżeli jest przestrzenią skończenie wymiarową, to

Podprzestrzeń liniowa generowana przez zbiór wektorów Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem Dla każdego (niekoniecznie skończonego) podzbioru przestrzeni liniowej definiuje się podprzestrzeń generowaną przez zbiór (inne symbole: ), jako zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów zbioru tj.

Zbiór jest podprzestrzenią liniową przestrzeni jest to najmniejsza (w sensie zawierania) podprzestrzeń liniowa przestrzeni która zawiera zbiór . Zbiór nazywany jest zbiorem generującym albo zbiorem rozpinającym podprzestrzeń a przestrzeń podprzestrzenią generowaną albo rozpiętą przez zbiór bądź także otoczką liniową albo powłoką liniową zbioru

Jeżeli zbiór generuje przestrzeń to nie musi być on jej bazą – np. przestrzeń jest generowana przez samą siebie. Dla zbioru generującego przestrzeń następujące warunki są równoważne zbiór jest bazą przestrzeni zbiór jest liniowo niezależny, każdy wektor przestrzeni można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru .

Przykłady Jeżeli i są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni to oraz Podprzestrzeń przestrzeni generowana przez zbiór opisana jest w drugim z przykładów.

Przypisy

Bibliografia

Literatura dodatkowa

Linki zewnętrzne

Szymon Charzyński, Podprzestrzenie wektorowe, kanał Khan Academy na YouTube, 14 czerwca 2016 [dostęp 2024-06-22]. Paweł Lubowiecki, Przestrzenie wektorowe cz. II. Podprzestrzeń liniowa, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-09].

Kategoria:Przestrzenie liniowe Kategoria:Podalgebry