Specjalną grupę liniową oznacza się przez lub
Własności Macierze te tworzą grupę, gdyż wyznacznik iloczynu dwóch macierzy jest równy iloczynowi ich wyznaczników (twierdzenie Cauchy’ego), zatem jest ona zamknięta ze względu na to działanie. Jeżeli lub to jest grupą Liego wymiaru grupa ta jest podgrupą grupy Algebra Liego grupy składa się ze wszystkich macierzy o zerowym śladzie; nawias Liego tej algebry jest zadany przez komutator macierzy. Specjalna grupa liniowa może być scharakteryzowana jako grupa przekształceń liniowych zachowujących objętość i orientację.
Rozmaitość algebraiczna
może być rozważana jako otwarta podrozmaitość przestrzeni afinicznej wymiaru nad
Ciała skończone Jeżeli jest ciałem skończonym o elementach, to zamiast piszemy czasami Jeżeli jest liczbą pierwszą, to jest grupą automorfizmów zewnętrznych grupy a zarazem grupą automorfizmów, ponieważ jest abelowa, zatem grupa automorfizmów wewnętrznych jest trywialna.
Rząd grupy Rząd grupy wynosi
Można udowodnić ten fakt poprzez zliczanie możliwych kolumn macierzy: pierwsza może być dowolną poza wektorem zerowym, druga – dowolną z wyjątkiem wielokrotności pierwszej, wreszcie -ta kolumna może być dowolnym wektorem spoza powłoki liniowej pierwszych kolumn.
Przykładowo ma rząd równy Jest to grupa automorfizmów płaszczyzny Fana oraz grupy