s. 62, Twierdzenie 4.4..
DowódAndrzej Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, , s. 62–63, Twierdzenie 4.4 – dowód. Aby udowodnić twierdzenie, wystarczy pokazać, że z warunku 1 wynika 2, z 2 wynika 3, z 3 wynika 4 i z 4 wynika 1.
1 ⇒ 2 Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 1 i postawmy hipotezę, że przedstawienie pewnego wektora jako kombinacji liniowej wektorów bazy nie musi być jednoznaczne. Zatem istnieje taki że:
Zatem odejmując powyższe równania stronami i grupując współczynniki, korzystając z własności przestrzeni wektorowej, otrzymamy, że:
Stąd jasno wynika, że (ponieważ układ jest liniowo niezależny z definicji bazy), co doprowadza do sprzeczności.
2 ⇒ 3 Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 2 i postawmy hipotezę, że istnieje mniejszy układ wektorów, który generuje przestrzeń i oznaczmy go:
Skoro jest to układ generujący całą przestrzeń, to dowolny wektor tej przestrzeni może być zapisany jako kombinacja liniowa wektorów bazy. W szczególności:
Możemy jednak również wektor zapisać jako:
Zauważmy jednak, że Zatem wektor został przedstawiony na 2 sposoby jako kombinacja wektorów co stoi w sprzeczności z jednoznacznością przedstawienia wektora