3 ⇒ 4 Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 3 i postawmy hipotezę, że układ jest liniowo zależny.
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że
Weźmy dowolny wektor Wtedy:
Zatem otrzymaliśmy mniejszy układ generujący od co jest sprzeczne z 3. Stąd wynika, że minimalny układ generujący przestrzeń jest liniowo niezależny. Trzeba jeszcze wykazać jego maksymalność.
Przeprowadźmy dowód nie wprost. Postawmy hipotezę, że istnieje większy układ liniowo niezależny. Ustalmy, że układ jest liniowo niezależny. Ponieważ układ generuje całą przestrzeń oraz to:
Stąd wynika, że:
a to jest sprzeczne z liniową niezależnością układu
4 ⇒ 1 Przeprowadźmy dowód nie wprost. Załóżmy prawdziwość 4 i postawmy hipotezę, że układ nie generuje przestrzeni wektorowej
Zatem istnieje taki wektor który nie jest kombinacją liniową wektorów wspomnianego układu.
Rozważmy przypadek:
Gdyby to byłby kombinacją liniową pozostałych wektorów, co jest sprzecznością z hipotezą.
Gdyby to równanie uprościłoby się do postaci
co z liniowej niezależności wektorów spowoduje, że a ponieważ to układ byłby liniowo niezależny, co jest sprzeczne z 4.