Ciągłość funkcjonałów stowarzyszonych z bazą w przestrzeniach Banacha Niech będzie przestrzenią Banacha oraz niech będzie jej bazą (Hamela). W przypadku, gdy jest skończeniewymiarowa, to funkcjonały stowarzyszone z bazą są ciągłe i tworzą bazę przestrzeni Gdy jest nieskończeniewymiarowa, to sytuacja zmienia się diametralnie i zachodzi następujące twierdzenie: co najwyżej skończenie wiele spośród funkcjonałów stowarzyszonych z jest ciągłych. Dowód. Niech będzie bazą nieskończeniewymiarowej przestrzeni Banacha Wówczas zbiór też jest bazą oraz funkcjonały stowarzyszone z bazami i różnią się odpowiednio między sobą tylko o stałą – bez straty ogólności można więc założyć, że każdy wektor z ma normę równą 1. Załóżmy nie wprost, że funkcjonały są ciągłe dla pewnego różnowartościowego ciągu z Z zupełności przestrzeni wynika, że suma szeregu
należy do Niech będzie ciągiem sum częściowych szeregu tj.
Z ciągłości wynika, że
co prowadzi do sprzeczności bo ma tylko skończenie wiele niezerowych współczynników w bazie tj. zbiór jest skończony. □