Istnienie bazy Każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu przebiega różnie w zależności od tego, czy w danej przestrzeni istnieje skończony zbiór generujący tę przestrzeń, czy nie. W tym drugim przypadku należy odwołać się do lematu Kuratowskiego-Zorna. Dowód istnienia bazy nie jest konstruktywny, tzn. nie daje żadnego algorytmu na otrzymanie wektorów tworzących bazę.
Każdy zbiór liniowo niezależnych wektorów można uzupełnić tak, by otrzymać bazę przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Na odwrót, z każdego zbioru wektorów generującego przestrzeń, można wybrać podzbiór, który jest jej bazą.
Andreas Blass udowodnił w 1984A. Blass, Existence of bases implies the axiom of choice. Axiomatic set theory (Boulder, Colo., 1983), 31-33, Contemp. Math., 31, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984., że powyższe twierdzenie (każda przestrzeń liniowa ma bazę) jest równoważne z aksjomatem wyboru.
Dowód istnienia bazy Nietrudno zauważyć, że liniowo niezależny zbiór jest bazą przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy dodanie do zbioru dowolnego nowego elementu powoduje utratę liniowej niezależności. A zatem baza to element maksymalny rodziny