uporządkowanej przez inkluzję. Użyjemy więc Lematu Kuratowskiego-Zorna, aby wykazać istnienie elementu maksymalnego zbioru W tym celu wystarczy stwierdzić, że każdy łańcuch jest w ograniczony z góry. Niech więc będzie łańcuchem w i niech Pokażemy, że zbiór jest liniowo niezależny.
Istotnie, przypuśćmy, że gdzie Skoro wektory należą do łańcucha to każdy z nich należy do pewnego składnika. Stąd wynika, że dla pewnych Rodzina zbiorów jest skończona i liniowo uporządkowana przez inkluzję, ma więc element największy. To znaczy, że dla pewnego mamy a przecież zbiór jest liniowo niezależny. Stąd kombinacja liniowa musi być trywialna i mamy
Ponieważ jest liniowo niezależny, więc a przy tym oczywiście zawiera wszystkie elementy jest więc ograniczeniem górnym naszego łańcucha w zbiorze Spełnione jest więc założenie Lematu Kuratowskiego-Zorna i musi istnieć element maksymalny.