gdzie jest macierzą typu zaś jest macierzą typu a jest macierzą zerową typu Macierz główna układu jest więc formalnie macierzą rozszerzoną układu Oznacza to, że układ niejednorodny zmiennych można sprowadzić do układu jednorodnego zmiennych, przy czym jedna z nich jest ustalona (zob. uogólnienia).
Rozwiązania thumb|Równania oraz tworzą układ sprzeczny
Rozwiązaniem nazywa się dowolny ciąg liczb który po podstawieniu za będzie spełniał każde z równań Układ, który nie ma rozwiązań, nazywa się sprzecznym; jeżeli zbiór rozwiązań układu jest niepusty, to nazywa się go niesprzecznym. Układ niesprzeczny, który ma jedno i tylko jedno rozwiązanie, nazywa się oznaczonym; układy o więcej niż jednym rozwiązaniu nazywa się nieoznaczonymi – w przypadku układów liniowych nad ciałami nieskończonymi (takimi jak liczby wymierne, liczby rzeczywiste czy liczby zespolone) oznacza to, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Wskazówkę co do ogólnej liczby rozwiązań układu daje już sama jego postać: układ niedookreślony, który ma mniej równań niż niewiadomych, zwykle jest nieoznaczony; układ nadokreślony mający więcej równań niż niewiadomych, zazwyczaj jest sprzeczny; układ, który ma tyle równań co niewiadomych, często ma jedno rozwiązanie.