Mimo to podejście ciągowe do zbieżności w przestrzeniach topologicznych jest zadowalające, gdy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności (jak to jest dla przestrzeni metryzowalnych), lecz w ogólności nie na odwót. Jednakże iloczyn nieprzeliczlanie wielu przestrzeni metryzowalnych, z których każda jest przynajmniej dwupunktowa, nie spełnia pierwszego aksjomatu przeliczalności. Tak więc naturalnym jest oczekiwanie, by odpowiednie pojęcie zbieżności w dowolnych przestrzeniach prowadziło do kryterium zbieżności, które uogólniałoby ciągową zwartość w przestrzeniach metryzowalnych i pozwalało łatwo określić zwartość iloczynów. To właśnie okazało się być kluczem. Teoria zbieżności poprzez filtry zapoczątkowana przez Henriego Cartana i rozwinięta przez Bourbakiego w 1937 roku prowadzi do następującego kryterium: zakładając lemat o ultrafiltrze przestrzeń jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ultrafiltr na przestrzeni jest zbieżny.