Dodawanie homomorfizmów grup abelowych jest rozdzielne względem ich złożenia: jeżeli oraz i są homomorfizmami grup abelowych to oraz Wynika stąd, że kategoria wszystkich grup abelowych z ich homomorfizmami tworzy kategorię preaddytywnąW starszych pozycjach, np. (Semadeni i Wiweger, 1978; s. 251–252), kategorie te nazywa się kategoriami addytywnymi.; istnienie sum prostych dowolnych grup abelowych pełniących rolę ich biproduktu, czyni z niej kategorię addytywną. Ponieważ dla każdego homomorfizmu istnieje dobrze określone jądro i kojądro, to wspomniana kategoria grup abelowych jest kategorią preabelową, a skoro wszystkie monomorfizmy i epimorfizmy są normalne, to jest kategorią abelową; w istocie kategoria grup abelowych była prototypem dla kategorii abelowych.
Niezmienniczość
Zbiór elementów odwracalnych (ze względu na ich składanie funkcji) w nazywa się grupą automorfizmów grupy Elementem odwrotnym do jest . Przekształcenie grupy w grupę jej automorfizmów dane wzorem gdzie automorfizm jest automorfizmem wewnętrznym, tzn. dla dowolnego jest homomorfizmem grup, ponieważPierwsza i trzecia równość zachodzą z definicji druga jest prawdziwa na mocy równości dla dowolnego (dowód drugiej równości, zob.