Wspomniana półgrupa jest w istocie monoidem, gdyż składanie ma element neutralny w postaci przekształcenia tożsamościowego

Klasę wszystkich homomorfizmów grupowych będącą podzbiorem oznacza się symbolem z kolei zbiór endomorfizmów grupy oznacza się Ponieważ dla ich złożenie to jest podmonoidem monoidu (zbiór z działaniem łącznym i elementem neutralnym) mimo wszystko nie musi należeć do jeśli jednak tak jest, to o endomorfizmach mówi się, że są addytywne – ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny element jest przemienny z dowolnym elementem Równanie jest równoważne , co więcej Podstawiając w poprzednim rozumowaniu otrzymuje się dla każdego .

Jeśli zaś to dodawanie jest rozdzielne lewostronnie względem składaniaDla dowolnego zachodzi przy czym w trzeciej równości korzysta się z założenia, iż ,

Gdy jest grupą abelową (przemienną), to z powyższego wynika, że ma strukturę pierścienia nazywanego pierścieniem endomorfizmów grupy Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne: jeżeli to z powyższego wynika, że jest abelowa.