Dla homomorfizmów grup oba te warunki wynikają z powyższego; niech wtedy zachodzą następujące własności: zachowywanie elementu neutralnegoWłasność wynika z równości (pierwsza kropka oznacza działanie w ), do obu strony której przyłożono element odwrotny do
zachowywanie elementu odwrotnegoKolejno: z powyższej własności, definicji elementu odwrotnego i homomorfizmu jest co po lewostronnym przemnożeniu obu stron równania przez element odwrotny do daje żądaną własność.
Homomorfizmy zachowują również potęgę elementuDowodząc indukcyjnie: przypadek jest trywialny; jeżeli to W połączeniu z powyższymi własnościami można przyjąć, że W notacji addytywnej zachowywana jest wielokrotność elementu: dla co w przypadku grup przemiennych umożliwia postrzeganie ich jako -modułów.,
jednakże nie zachowują rzędu, a jedynie podzielnośćJeżeli to jest najmniejszą liczbą naturalną spełniającą zatem na mocy powyższej własności co daje tylko podzielność przez (zob. Przykłady i twierdzenie Lagrange’a)
Inne morfizmy