Endomorfizmem nazywa się dowolny homomorfizm Homomorfizm odwracalny, tzn. homomorfizm dla którego istnieje homomorfizm odwrotny czyli spełniający tożsamość gdzie jest homomorfizmem tożsamościowym odpowiedniej grupyInnymi słowy dla dowolnego musi zachodzić oraz dla dowolnego musi zachodzić , nazywa się izomorfizmem. Grupy dla których istnieje izomorfizm, nazywa się izomorficznymi i oznacza relacja izomorficzności grup jest relacją równoważności w klasie wszystkich grupWyróżnia się również tzw. -izomorficzność zbiorów zachodzącą, gdy grupa działa na tych zbiorach w taki sam sposób (zob. porównywanie działań grupy na zbiorze).
Endomorfizmy będące zarazem izomorfizmami nazywa się automorfizmami – można je uważać za uogólnienia symetrii grupy. Ponieważ izomorfizm odwrotny do izomorfizmu również jest izomorfizmem, to automorfizmy danej grupy tworzą grupę, w której działaniem jest ich składanie a elementem neutralnym jest izomorfizm tożsamościowy
Monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy mające odpowiednio lewo- i prawostronną własność skracania; z kolei bimorfizm to homomorfizm będący jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem;