dalej).
Monomorfizm można wówczas zdefiniować jako homomorfizm który ma trywialne jądro, z kolei epimorfizm to homomorfizm którego obraz jest całą przeciwdziedziną, Izomorfizm definiuje się jako homomorfizm spełniający oba powyższe warunki; definicje endomorfizmu i automorfizmu pozostają bez zmian (zob. wyżej).
Faktoryzacja
Podgrupa normalna wyznacza jednoznacznie podział na warstwy, w których zbiorze można wprowadzić wtedy strukturę grupy nazywanej grupą ilorazową grupy przez przekształcenie rzutowe grupy w zbiór warstw jest wtedy homomorfizmem; z tego powodu nazywany jest też homomorfizmem kanonicznym lub epimorfizmem kanonicznym (gdyż jako rzut jest suriekcją); określenia „kanoniczny” używa się zamiennie z „naturalny” (zob. transformacja naturalna).
Twierdzenie o homomorfizmie mówi, że istnieje jeden i tylko jeden monomorfizm spełniający z kolei twierdzenie o izomorfizmie zapewnia o izomorfizmie między a Grupę nazywa się niekiedy koobrazem z kolei jeżeli jest podgrupą normalną w to nazywa się kojądrem
Działania
Niech oznacza zbiór wszystkich przekształceń Dla dwóch przekształceń można określić punktowo działanie ich dodawania wzoremPoniższy wzór jest bardziej intuicyjny w notacji potęgowej: